Методическое пособие 749

Введём обозначение: полные напоры в точках M , N соответственно HM и H N , расход в основной магистрали Q , а в параллельных трубопроводах Q1,

Q2 и Q3 и потери в них h1, h2 , и h3. Тогда очевидно

Q1 Q2 Q3 Q .

Если выразить потери в каждом трубопроводе через полные напоры в точках M и N , то получим

h1 HM HN ;h2 HM HN ;h3 HM HN ,

т.е. h1 h2 h3 .

Потери в ветвях 1, 2 и 3 могут быть выражены ещё и следующим образом

h1 k1Q1m ; h2 k2Q2m ; h3 k3Q3m .

k и m , как мы уже знаем, определяются режимом течения жидкости. В соответствии с h1 h2 h3 , получаем ещё два уравнения

k1Q1m k2Q2m ; k2Q2m k3Q3m .

Данные уравнения позволяют решить следующую задачу: дан расход Q в

основной магистрали и все геометрические параметры, необходимо найти расходы Q1, Q2 и Q3.

Полученные соотношения определяют правило построения характеристики параллельного соединения нескольких трубопроводов, которое представлено на рис. 3.18.

Рис. 3.18. Зависимость потерь давления от расхода

100

3.6.4. Разветвлённый трубопровод

Разветвлённый трубопровод – совокупность нескольких труб, имеющих одно сечение – место разветвления или место смыкания этих труб. Рассмотрим конкретный пример, представленный на рис. 3.19.

Определим связь между давлением pM и расходами Q1, Q2 и Q3 , при

этом направление течения в трубах считаем заданным как показано на рис. 3.19. Здесь как и для параллельных трубопроводов очевидно

Q Q1 Q2 Q3 .

Рис. 3.19. Разветвленный трубопровод

Из уравнения Бернулли, пренебрегая разностью скоростных напоров, будем иметь

Следовательно, получаем систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными, решение которой удобно проводить графически Q1,Q2 ,Q3 , PM .

Решение ведём следующим образом – строим для каждого трубопровода кривую потребного напора PM f Q , а затем выполняем их сложение так

101

же, как это делаем с характеристиками параллельно соединённых труб, т.е. складываем абсциссы Q при одинаковых ординатах (рис. 3.20).

Полученная кривая ABCD представляет собой кривую потребного напора для разветвлённого трубопровода, позволяющую определить значение расходов по PM и наоборот.

Рассмотренный выше разветвлённый трубопровод, так же как и трубопровод, составленный из нескольких параллельных труб, является разновидностью сложного трубопровода. В общем случае сложный трубопровод может состоять из последовательно и параллельно соединенных участков или разветвлений. Расчёт его производят графоаналитически, а именно – сложный трубопровод разбивается на ряд простых, для каждого из которых строятся кривые потребного напора, а затем производится сложение этих кривых. В том случае, когда z z P 0, вместо кривых потребного напора строятся характери-

стики трубопроводов.

Рис. 3.20. Схема трубопровода и построение характеристики

3.6.5. Трубопровод с насосной подачей жидкости

Этот случай рассмотрим особо. Такой трубопровод может быть как разомкнутым (перекачка жидкости с одного места в другое), так и замкнутым. Рассмотрим первоначальный разомкнутый трубопровод, пример которого представлен на рис. 3.21.

Линия всасывания – трубопровод, по которому жидкость движется к насо-

су.

102

Напорный трубопровод – трубопровод, по которому жидкость движется от насоса.

Уравнение Бернулли для всасывающего трубопровода имеет вид

предельно аккуратно, чтобы перед входом в насос остался ещё некоторый запас

давления P1, необходимый для бескавитационной работы.

Рис. 3.21. Разомкнутый трубопровод: H1 – геометрическая высота всасывания;

H 2 – геометрическая высота нагнетания

Возможны следующие задачи на расчёт всасывающего трубопровода:

- даны все размеры и расход, при этом необходимо найти давление на входе в насос;

- дано P , т.е. минимально допустимое давление перед входом в насос.

1min

103

Hнас z сQ2 kQm .

Получаем очевидный результат

Hнас Hпотр .

Выполнение этого равенства является необходимым условием для обеспечения устойчивой работы насоса. Выполнение этого условия обеспечивается обычно автоматически.

На этом равенстве основывается метод расчёта трубопроводов, питаемых насосом, который заключается в построении на одном графике двух кривых:

f1 Q и Hнас f2 Q (рис. 3.22) и определении точки их пересечения, которая носит название рабочей точки, т.к. всегда реализуется режим работы, соответствующий именно этой точке, чтобы получить другую рабочую точку необходимо или изменить характеристику трубопровода или изменить число оборотов насоса.

104

Рис. 3.22. Схема поиска рабочей точки

Рассмотренный приём определения положения рабочей точки применим в том случае, когда число оборотов насоса не зависит от мощности потребляемой насосом, т.е. нагрузки на валу насоса. Изложенный расчётный приём определения положения рабочей точки применим, когда число оборотов ротора насоса не зависит от нагрузки на валу насоса.

В противном случае необходимо строить кривые потребных и располагаемых мощностей по числам оборотов и по точке их пересечения определять рабочее число оборотов и мощности.

Для замкнутого трубопровода при насосной подаче будем иметь

т.к. при этом в случае v1 v2 , z 0 .

Необходимо отметить, что замкнутый трубопровод должен иметь расширительный или компенсационный бачок, соединённый обычно с сечением у входа в насос, где абсолютное давление в трубопроводе будет неопределённым. В случае расширительного бачка оно вполне определённое и равно

где P0 – давление в расширительном бачке,

H0 – уровень жидкости в бачке по сравнению с сечением на входе.

3.7.Относительное и неустановившееся движение жидкости в трубах

3.7.1.Уравнение Бернулли для относительного движения

Ранее полученные формы уравнения Бернулли справедливы лишь в том случае, когда из числа массовых сил на жидкость действуют лишь только силы тяжести. В авиационной и ракетной технике зачастую приходится сталкиваться

105

с течениями жидкости, при расчёте которых необходимо учитывать силы инерции переносного движения.

Если возникающая при этом сила инерции постоянна во времени, т.е. движение равноускоренное, то течение жидкости относительно стенок русла будет установившимся и для него можно получить уравнение Бернулли в следующей форме.

Берём одну из элементарных струек жидкости, составляющих поток, и с помощью сечений 1-1 и 2-2 выделяем участок этой струйки произвольной длины как показано на рис. 3.23.

Применим к выделенному участку струйки теорему об изменении кинетической энергии, согласно которой работа сил, приложенных к телу, равна изменению кинетической энергии этого тела.

Такими силами в нашем случае будут:

- силы давления, действующие нормально к поверхности рассматриваемого участка струи, работа которых равна в сечениях 1-1 и 2-2 соответственно

-силы давления, которые действуют на боковых участках струи, работы не производят, т.к. они нормальны к направлению перемещения;

-работа силы тяжести будет равна изменению потенциальной энергии положения участка струи. Так как веса отрезков 1 1 и 2 2 согласно уравнению неразрывности равны между собой т.е.

106

v1dS1dt v2dS2dt G ,

то работа сил тяжести выразится как произведение разности высот участков на их вес

z1 z2 G ;

-удельную работу сил инерции, так называемый инерционный напор, обозначим в общем случае Hин .

Чтобы подсчитать приращение кинетической энергии рассматриваемого участка струи за время dt, необходимо из кинетической энергии объёма 1 2 вычислить кинетическую энергию объёма 1 2 . В результате будем иметь

G

v22 v12 2 g .

Сложив удельную работу сил давления, сил тяжести и инерционных сил и приравняв эту сумму к приращению удельной кинетической энергии системы будем иметь

Для вязкой жидкости с учётом потерь и неравномерности распределения поля скоростей в сечении будем иметь

где 1 и 2 – безразмерные коэффициенты, учитывающие неравномерность распределения скоростей в контрольных сечениях и равные

v3dS

h – суммарные потери удельной энергии (напора) на участке между рассматриваемыми сечениями.

А теперь рассмотрим конкретные виды инерционного напора для следующих основных случаев относительного движения жидкости Hин .

107

3.7.2. Прямолинейное равноускоренное движение русла

Если русло, по которому течёт жидкость, движется прямолинейно с постоянным ускорением a , м/с2, то на все частицы жидкости действует постоянная одинаковая во времени сила инерции переносного движения. Удельное значение этой силы, отнесенное к массе, будет равно ускорению и направлено в сторну, обратную ускорению. Соответственно на каждую единицу веса будет

действовать сила инерции равная 1g a . Тогда работа этой силы будет равна

Hин ag La , где La – проекция рассматриваемого участка русла между сечения-

ми на направление ускорения.

При этом необходимо пользоваться для Hин следующим правилом зна-

ков, если ускорение направлено от 1 к 2, то сила инерции препятствует перемещению и должна входить в правую часть уравнения Бернулли со знаком плюс, т.е в этом случае инерционный напор будет оказывать действие на поток аналогично гидравлическим потерям, которые всегда имеют знак плюс в правой части.

3.7.3. Вращение русла вокруг вертикальной оси

Пусть русло, по которому движется жидкость, вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью .

Тогда на жидкость будет действовать сила инерции вращательного движения, являющаяся функцией радиуса, а поэтому для подсчёта работы этой силы необходимо применить интегрирование.

На единицу веса будет действовать сила инерции 2 r . Работа этой силы g

Знак инерционного напора, который получаем после интегрирования соответствует изложенному выше правилу знаков.

108

3.7.4. Движение жидкости в условиях невесомости

Это движение характерно тем, что результирующая массовых сил, действующих на каждую частицу жидкости, равна нулю, т.к. сила тяжести уравновешивается инерционной силой переносного движении, следовательно, в исходном уравнении Бернулли, необходимо положить

Жидкость, которая находится в условиях невесомости, теряет способность образовывать сводную поверхность раздела с газообразной средой обычной формы. При этом в баке образуется двухфазная среда, возможен также случай, когда газ сосредотачивается в центре бака в виде ядра сферической формы, а жидкость обволакивает всю внутреннюю поверхность бака. Поэтому в условиях невесомости необходимо избегать непосредственного контакта между жидкостью и газом.

При отсутствии контакта между жидкостью и газом течение жидкости по трубопроводам под действием перепада давления в условиях невесомости будет отличаться от течения в обычных условиях лишь отсутствием влияния разности нивелирных высот z2. В случае же больших перепадов давления и при течении

в замкнутых трубопроводах никакого различия между течениями в условиях невесомости и в обычных условиях не будет.

Дополнительно отметим, что истечение жидкости через отверстия и насадки под достаточно большим напором в газовую среду при невесомости также не имеет каких-либо существенных особенностей, т.е. истечение жидкости через форсунку и распыливание её в камере сгорания ЖРД.

3.7.5. Неустановившееся течение жидкости в трубах

Рассмотрим два частных случая:

-неустановившееся движение жидкости в трубе постоянного сечения;

-неустановившееся течение жидкости в трубопроводе, составленном из ряда последовательно соединённых труб разных диаметров.

Труба произвольно расположена в пространстве, параметры указаны на рис. 3.24.

109