Методическое пособие 749

Рис. 3.24. Труба с произвольным расположением в пространстве

Жидкость движется с ускорением, которое может быть переменным во времени и равным

ний трубопровода.

Будем полагать, что распределение скоростей по сечениям равномерное, а потери на трение отсутствуют.

Выделим в жидкости элементарный контрольный объём и составим уравнение его движения

или

110

жидкости в трубе.

При наличии гидравлических потерь они по аналогии с уравнением Бернулли записываются в правой части полученного уравнения.

Это уравнение справедливо для трубы с d const . Еcли трубопровод состоит из нескольких участков с различными d , то hин должен быть найден как

сумма hин для различных участков, при этом ускорение определяется согласно выражению

Кроме того, в этом случае необходимо учитывать скоростные напоры в начальном и конечном сечениях трубопровода.

Таким образом, уравнение неустановившегося течения жидкости примет

вид

Уравнение в таком виде находит широкое применение в расчётах самолётных гидросистем и систем питания жидкостно-ракетных двигателей.

3.7.6. Гидравлический удар в трубах

Гидроудар есть колебательный процесс, возникающий в упругом трубопроводе с малосжимаемой жидкостью при внезапном изменении её скорости или давления. Процесс быстротечен и характерен чередованием резких повышений и понижений давления, которое связано с упругими деформациями жидкости и стенок трубопровода.

Опишем физику явления гидравлического удара, который чаще всего возникает в результате быстротечного закрывания или открывания крана другого

111

устройства управления потоком. Более подробное исследование этого явления было выполнено Н.Е. Жуковским [10].

На рис. 3.25 и рис. 3.26 показаны полный цикл гидравлического удара и соответствующая этому процессу эпюра давлений. В опытах Н.Е. Жуковского было зарегистрировано по 12 полных циклов с постепенным уменьшениемРуд вследствие трения и ухода энергии в резервуар.

ж

Рис. 3.25. Полный цикл гидравлического удара

Рис. 3.26. Эпюра давлений

112

Действительная картина протекания процесса во времени несколько отлична от представленной на рис. 3.25. Во-первых, давление нарастает хотя и очень быстро, но не мгновенно, а его амплитуда несколько падает вследствие рассеивания энергии: в точке А непосредственно у крана и в точке В, находящейся на середине трубы.

Величина Руд может быть найдена из условия, что кинетическая энергия

жидкости переходит в работу деформации стенок трубы и деформацию жидкости.

Кинетическая энергия столба жидкости будет

Работа деформации составляет 1/2 произведения силы на удлинение

1 Р 2 Rl R . (3.105)

По закону Гука

но

где – толщина стенок трубы. Тогда

Получили выражение для работы деформации стенок трубы. Работу сжатия жидкости соответственно определим как

Относительное изменение объёма жидкости связано с давлением зависимостью

113

где K – объёмный модуль упругости жидкости. Тогда будем иметь для работы сжатия

абсолютно жёсткой трубы приобретает вид K , т.е. скорость звука в однород-

ной упругой среде, которая для воды составляет 1435 м/с, бензина 1116 м/с, масла 1400 м/с.

ударной волны в жидкости, которая заполняет упругий трубопровод. Это можно доказать, если рассмотреть элементарное перемещение ударной волны dx за время dt (рис. 3.27) и применить теорему об изменении количества движения. Имеем

114

Рис. 3.27. Элементарное перемещение ударной волны

Pуд v0a т.е. получаем формулу аналогичную полученному выражению.

Если скорость в трубопроводе гасится не до 0, а до некоторой конечной величины v , то будет иметь место так называемый неполный гидравлический удар и формула Н.Е. Жуковского принимает вид

Эта формула справедлива, когда tзакр t0 24a , т.е. при очень быстром закрывании крана, где t0 – фаза гидравлического удара. При этом происходит так называемый прямой гидравлический удар.

Если tзакр t0 возникает непрямой гидравлический удар, при этом ударная волна возвращается к запорному устройству раньше, чем оно полностью закро-

где P зависит от длины трубы и, в отличие от P , не зависит от a .

уд уд

Особо следует рассмотреть так называемый тупиковый трубопровод, в котором возможно увеличение ударного давления в два раза.

Действительно, это утверждение можно проиллюстрировать следующим примером, представленном на рис. 3.28.

При мгновенном открытии крана произойдёт увеличение давления в трубопроводе на

115

Рис. 3.28. Тупиковый трубопровод

Возникавшая ударная волна, согласно формуле Н.Е. Жуковского, будет

В момент подхода к тупику давление во всём объёме жидкости возрастает на величину Pуд и жидкость приобретает скорость v0 , в результате гашения

которой, давление ещё возрастает на Pуд v0a. В результате в конце трубо-

провода возникнет новая отражённая волна, за фронтом которой давление возрастёт на 2 Pуд .

Если в конце трубопровода имеется объем V, заполненный жидкостью, например, силовой гидроцилиндр, то этот объем будет оказывать демпферное влияние и давление повышается меньше, чем в 2 раза. При весьма большом объеме V отражение волны практически не происходит.

Полученная формула для Pуд , несмотря на упрощающие допущения при

её выводе, достаточно хорошо подтверждается экспериментом, это можно объяснить тем, что в случае внезапного торможения происходит интенсивный сдвиг слоёв жидкости и, как следствие, большая потеря энергии на внутреннее трение, которая и компенсирует избыток кинетической энергии за счёт неравномерности поля скоростей. Потеря энергии на трение и рассеивание энергии в процессе удара способствует затуханию колебаний.

Для борьбы с гидравлическим ударом предусмотрены следующие спосо-

бы:

-увеличение времени срабатывания кранов для избежания прямого удара;

-установка компенсаторов в виде местных объёмов или гидроаккумуля-

торов;

-уменьшение скорости (увеличение d ) и уменьшение длины трубопрово-

да.

116

4. ДВИЖЕНИЕ ГАЗА БЕЗ СКАЧКОВ УПЛОТНЕНИЯ

Equation Section 4

Соотношения термодинамики. При больших скоростях течения газа, сравнимых со скоростью звука, изменение скорости приводит к изменению плотности. Особенности такого движения изучаются газовой динамикой.

Как известно из курса технической термодинамики, основные параметры состояния газа – давление p , плотность и абсолютная температура T связаны для идеальных газов уравнением состояния

где R – газовая постоянная, Дж/(кг∙К). Для воздуха R 287,1 Дж/(кг∙К).

В большинстве задач, рассматриваемых газодинамикой, процессы изменения состояния газа можно считать адиабатными; из-за их быстротечности они осуществляются без теплообмена с окружающими телами. При адиабатном процессе давление и плотность связаны соотношением

лении и постоянном объеме.

Для воздуха и других двухатомных газов k 1,4 , для перегретого водяного пара k 1,33 .

Используя уравнение состояния, получим для адиабатного процесса формулы связи между давлением, плотностью и температурой

В задаче о движении газа в длинной трубе без теплоизоляции стенок процесс изменения состояния принимается изотермическим: длительный контакт со стенками трубы приводит к тому, что температура газа не отличается от температуры стенки. Для изотермического процесса

p const .

117

4.1. Скорость звука. Число Маха

В пункте 3.7.6 получены общие формулы для скорости распространения малых возмущений в жидкости, а именно

Процесс изменения параметров газа в звуковой волне, которая представляет собой распространяющиеся в газе слабые возмущения давления и плотности, следует считать адиабатным. Из уравнения (4.2) имеем

При температуре 15 C последняя формула дает a 340 м/с.

Скорость звука – одна из важнейших механических характеристик газа. Законы его движения резко отличаются в зависимости от соотношения скорости газа v и скорости звука a .

называется числом Маха. Течения, в которых v a и M 1, называются дозву-

ковыми. Если v a и M 1, течение сверхзвуковое.

118

4.2. Уравнение энергии

Рассмотрим установившееся одномерное движение газа. Если единственной внешней силой, действующей на газ, является сила тяжести, то такое течение описывается дифференциальным уравнением (2.14). Вследствие малой плотности газа допустимо пренебречь в этом уравнении членом, учитывающим изменение высоты струйки над плоскостью сравнения, так как для частицы газа сила веса пренебрежимо мала по сравнению с силами инерции и давления.

Уравнение (2.14) приобретает вид

Выражение (4.5) представляет собой уравнение энергии для газа, записанное в дифференциальной форме.

Считая течение адиабатным, выразим в последнем уравнении дифференциал давления через изменение плотности с помощью уравнения адиабаты (4.2)

dp kC k 1d ; dp kC k 2d .

Подставляя уравнение в (4.5) и интегрируя вдоль струйки, получим уравнение энергии в интегральной форме, или уравнение Бернулли-Сен-Венана

Уравнение Бернулли-Сен-Венана можно представить иначе. Разделив его члены на g , получим

гию газа входит ещё и его внутренняя энергия. Иногда говорят, что в случае газа к пьезометрическому напору добавляется «температурный напор».

119