Методическое пособие 749

Выражая в уравнении энергии (4.6) отношение p через уравнение состо-

яния (4.1), получим

Последнее равенство показывает, что при отсутствии теплообмена с внешней средой увеличение скорости вдоль струйки приводит к падению температуры газа и наоборот.

Используя формулу для скорости звука, уравнение энергии (4.6) можно представить в виде

откуда ясно, что скорость движения газа и скорость звука взаимосвязаны: увеличение скорости течения приводит к уменьшению скорости звука. Вследствие адиабатного охлаждения она меньше скорости звука, соответствующей начальному состоянию газа, когда скорость равна нулю и температура наибольшая.

Выражение (4.9) позволяет выяснить смысл постоянной в правой части уравнения энергии. Действительно, в покоящемся газе v 0 и скорость звука

Наконец, если использовать понятие энтальпии, или теплосодержания, газа i , рассматриваемое в термодинамике

то уравнение энергии (4.8) приобретает вид

Таким образом, потенциальная энергия газа выражается в различных формах уравнения энергии (4.6)-(4.11) с помощью различных взаимосвязанных параметров – давления, температуры, скорости звука, энтальпии. Ниже показа-

120

ны примеры применения уравнения энергии в различных формах записи для решения задач одномерного течения.

4.3. Связь скорости газа с сечением потока. Сопло Лаваля

Выясним зависимость скорости течения от площади поперечного сечения потока. Для газа уравнение неразрывности (2.7), или уравнение постоянства массового расхода при установившемся течении имеет вид

Логарифмируя и дифференцируя это равенство, получим

откуда

Из уравнения энергии в дифференциальной форме (4.5) имеем

dvv v12 dp ,

что даёт после подстановки в уравнение (4.14)

Из уравнения (4.15) следует, что изменение скорости dv при изменении сечения dF происходит по-разному для дозвукового и сверхзвукового течения. В дозвуковом потоке ( v a , M 1, рис. 4.1, а) знаки dv и dF в (4.15) противоположны: уменьшение сечения в конфузорном канале приводит к возрастанию

121

скорости, а в диффузорном канале скорость по потоку уменьшается. При сверхзвуковом течении ( v a , M 1, рис. 4.1, б) в конфузорном канале поток замедляется, в диффузорном – ускоряется.

Рис. 4.1. Изменение скорости при разных числах Маха

Чтобы пояснить полученные результаты, которые для сверхзвукового течения кажутся неожиданными, сопоставим уравнения (4.15) и (4.14). Имеем

v

Поскольку левая часть равенства (4.16) всегда положительна, ясно, что знаки d и dv всегда противоположны: рост скорости приводит к уменьшению

плотности. Но при дозвуковом течении ( M 2 1) скорость изменяется более быстро, чем плотность

dv d . v

При сверхзвуковом течении, наоборот, более быстро уменьшается плот-

ность

dv d . v

Для получения сверхзвуковых скоростей газа в технике используется сопло Лаваля, схема которого приведена на рис. 4.2, принцип действия которого ясен из приведённых рассуждений. В дозвуковом потоке, поступающем в суживающуюся часть сопла Лаваля, скорость увеличивается. Если в наименьшем сечении сопла не достигается скорость, равная скорости звука, то в расширяющейся части происходит её уменьшение; скорость по длине сопла изменяется по кривой 1 (рис. 4.2). Если перепад давления достаточно велик, чтобы в наименьшем сечении скорость течения сравнялась со скоростью звука, то при дальнейшем расширении поток переходит в сверхзвуковой и скорость его изменяется по кривой 2.

122

Рис. 4.2. Изменение скорости по длине сопла

Сопло Лаваля имеет широкое применение, являясь составной частью реактивных двигателей, сопловых аппаратов некоторых турбин (в которых рабочие лопатки обтекаются сверхзвуковым потоком), сверхзвуковых аэродинамических труб и т.д. Более полная теория сопла учитывает влияние трения на стенках и волновых явлений на выходе потока.

4.4. Параметры изоэнтропического торможения газа

При торможении газа его кинетическая энергия переходит в потенциальную, при этом давление, плотность и температура возрастают.

В случае полного торможения (остановки) потока, например в точке раздвоения струйки на передней поверхности обтекаемого тела, p, ,T достигают

максимальных для данного потока величин – параметров торможения p0 , 0 ,T0 .

Определим эти величины для адиабатного изоэнтропического процесса торможения, при котором давление и плотность газа связаны соотношением (4.2).

Применим уравнение (4.9) к сечениям струйки «на бесконечности», т.е. там, где на поток не сказывается искажающее влияние обтекаемого тела, и в точке торможения

Как и следовало ожидать, мы получили частный случай уравнения (4.10).

123

Повышение температуры газа у поверхности тела, обтекаемого при больших числах M , называется аэродинамическим нагревом. Отметим, что термометр, помещённый в поток газа, показывает температуру, очень близкую к температуре торможения.

Используя зависимости (4.3), связывающие температуру адиабатного процесса с давлением и плотностью, получим

Рис. 4.3. Зависимость теплофизических параметров от числа Маха

Расчёт по формулам (4.17) и (4.18) показывает, что при M 0,2 (для воздуха при 15 ºС это соответствует скорости 68 м/с) сжимаемость газа приводит к поправкам в плотности торможения на 2 %, в давлении и температуре – порядка 1 %. Ввиду малости этих поправок ими пренебрегают, считая газ при малых скоростях несжимаемой жидкостью. В задачах, не требующих высокой точно-

124

сти решения, можно считать газ несжимаемым и при больших числах M (порядка 0,3).

Выражения (4.17) и (4.18) являются ещё одной формой записи уравнения

(4.6).

4.5. Истечение газа из резервуара. Максимальная и критическая скорости

Исследуем истечение газа из резервуара, где он находился под давлением p0 , в среду с давлением p .

Применяя к сечениям струйки газа в резервуаре, где скорость близка к нулю, и в сжатом сечении уравнение энергии в форме (4.6), имеем

адиабаты (4.2) и используя уравнение состояния, получим формулу Сен-Венана и Ванцеля для скорости адиабатного истечения газа

рость истечения

В частности, если в пустоту вытекает воздух при температуре 15 ºС, то vmax 760 м/с . При постепенном уменьшении давления в среде, в которую вы-

текает газ, начиная от p p0 , согласно формуле (4.20) растёт скорость истече-

ния (рис. 4.4).

125

Рис. 4.4. Изменение линии скорости от внешнего давления

Возрастание скорости в соответствии с уравнением энергии в форме (4.9) приводит к уменьшению местной скорости звука a . Наконец, при достаточно малом давлении среды

называемого критическим давлением, скорость истечения достигает максимума, она сравнивается с местной скоростью звука, устанавливается критическая скорость потока aкр . Плотность и температура газа при этом также достигает кри-

тических значений, определяемых формулами

Величину критической скорости легко определить из уравнения энергии в форме (4.9) или (4.10), если принять v a aкр , то

щим образом. Представим себе (рис. 4.5), что газ вытекает из резервуара 1 в вакуумную камеру 2 через трубу, давление в которой регулируется краном K . При p pкр скорость v aкр и при открытии крана волны разрежения от него,

распространяясь навстречу струе, соответственно увеличивают скорость исте-

126

чения. Если достигнута звуковая скорость истечения, то волны разрежения от крана уже не могут распространяться навстречу струе и понижение давления p

не меняет скорость течения v aкр .

Рис. 4.5. Схема течения газа

Величина критической скорости aкр остаётся постоянной вдоль струйки.

Поэтому удобно измерять скорость течения в долях этой величины; так вводится безразмерная скорость газа, иногда называемая коэффициентом скорости

Здесь в знаменателе безразмерная скорость – величина постоянная вдоль струйки, тогда как в выражении (4.4) знаменатель является переменной величиной. При v aкр имеем M 1. Связь между этими величинами очевидна из

отношения

Используя уравнение энергии в форме (4.10), получим

Газодинамические функции для воздуха k 1, 4

127

Переходя в формулах для параметров торможения газа (4.17) и (4.18) от числа M к , получим соотношения

Формулы (4.25) дают изменение параметров газа вдоль струйки в зависимости от скорости. Они носят название газодинамических функций. Их численные значения для различных k и (или M ) сведены в таблицы и графики газодинамических функций. В частности, величины газодинамических функций для воздуха k 1, 4 даны в таблице. В таблицах газодинамических функций

даются также значения приведённого расхода q (отношение удельного рас-

хода массы газа в произвольном сечении струйки к расходу в критическом сечении. Использование таблиц газодинамических функций облегчает расчёты.

128

Окончание таблицы

4.6. Одномерное течение газа с трением

4.6.1.Изотермическое течение в трубах

Вдлинных газопроводах без тепловой изоляции температуру газа можно считать постоянной и равной температуре окружающей среды. Вдоль трубопровода давление и плотность уменьшаются, скорость возрастает.

Будем учитывать потери напора на трение вдоль трубы по формуле Дарси, тогда потери на участке трубы длиной dx составят

129