Методическое пособие 749

Прерывное изменение параметров газа и скорости течения наблюдается также и при обтекании неподвижного тела сверхзвуковым потоком. Если, например, обтекаемое тело имеет спереди затупленную форму, то торможение газа в лобовой части приводит к появлению здесь области дозвуковых скоростей. Волны повышения давления от тела распространяются в этой области дозвуковых скоростей и навстречу потоку, но на сравнительно небольшое расстояние – до скачка уплотнения, расположенного перед телом. В скачке уплотнения сверхзвуковая скорость потока прерывно переводится в дозвуковую. До перехода через скачок сверхзвуковой поток остается невозмущенным – волны давления от обтекаемого тела распространяются со скоростью звука, а скорость потока ее превышает.

Если система координат связывается с областью прерывного сжатия газа (или с обтекаемым телом, относительно которого она неподвижна), то эта область прерывного изменения параметров газа называется скачком уплотнения. Сквозь него протекает газ, имея сверхзвуковую скорость v1 на входе и v2 v1 v

на выходе. Температура, давление и плотность в скачке мгновенно возрастают. Если система координат связана с неподвижным газом, в котором распро-

страняется со сверхзвуковой скоростью область прерывного сжатия, то эта область называется ударной волной. Физические процессы, происходящие в скачке уплотнения и в ударной волне, одинаковы, поэтому иногда оба эти названия применяют для одного и того же явления (например, скачок уплотнения перед затупленной передней частью тела называют «головной ударной волной».

5.1.2. Изменение параметров газа в прямом скачке

Прерывное уплотнение сжатия, которое расположено по нормали к вектору скорости (рис. 5.2) называется прямым скачком уплотнения.

Рис. 5.2. Уплотнение сжатия

Рассмотрим движение газа через прямой скачок уплотнения. Исходные уравнения:

140

- уравнение энергии

Если заданы три величины, например v1, p1, 1 , то из приведенных уравнений могут быть определены три остальные: v2 , p2 , 2 . Приведем основные ре-

зультаты совместного решения исходных уравнений.

Представим уравнение энергии (5.3) с использованием (4.10) и (4.21) в

виде

и подставить полученное ранее значение p , получим

Следовательно, в прямом скачке уплотнения сверхзвуковой поток 1 всегда переходит в дозвуковой 1 .

141

Определим разность скоростей v v1 v2 (для ударной волны – это ско-

рость, которую газ имеет за ударной волной; на рис. 5.1 скорость движения газа вместе с поршнем). Из соотношения (5.4)

Возрастание давления в скачке p2 p1 получим, подставляя разность скоростей v2 v1 в уравнение (5.2)

Возрастание плотности 2 1 найдем из уравнения неразрывности и со-

отношения (5.4), т.к. 2 1 v1 , то v2

Рис. 5.3. Зависимость p2 p1 p1 и 2 1 1 от безразмерного отношения скоростей

Из равенств (5.4)-(5.7) следует, что изменение параметров на скачке тем резче, чем больше 1 , т.е. его интенсивность усиливается с ростом сверхзвуковой скорости на входе в скачок. На рис. 5.3 представлена зависимость величин

142

оси абсцисс отложены также соответствующие значения чисел M .

5.1.3. Ударная адиабата. Рост энтропии и потеря давления в прямом скачке

Безразмерная скорость газа – величина ограниченная. Действительно,

max vamax ,

кр

или, с использованием соотношений (4.20) и (4.21)

(для воздуха max 2, 449 ; это значение соответствует M . Поэтому возрастание плотности в скачке уплотнения (5.7) оказывается ограниченным

Для воздуха k 1, 4 возможно максимальное уплотнение в скачке в 6

раз. В то же время известно, что при обратимом (изоэнтропическом) адиабатном сжатии

p k p2 2 ,

1 1

т.е. при возрастании давления плотность возрастает неограниченно.

Связь между давлением и плотностью в скачке может быть получена из совместного решения уравнений (5.5) и (5.6). Она называется ударной адиабатой или адиабатой Гюгонио (приведено без вывода)

143

На рис. 5.4 представлено изменение давления при изменении плотности воздуха для изоэнтропического сжатия и для сжатия в скачке уплотнения. Асимптота адиабаты Гюгонио показана пунктиром.

Рис. 5.4. Изменение давления при изменении плотности воздуха для изоэнтропического сжатия и для сжатия в скачке уплотнения

Как известно из термодинамики, при теплообмене между телами, входящими в систему, энтропия системы возрастает. При течении газа без скачков теплообмен между частицами пренебрежимо мал, движение изоэнтропическое. В то же время процесс сжатия газа в скачке уплотнения не изоэнтропический, энтропия в скачке нарастает. Это происходит вследствие передачи тепла от уплотненного и нагретого объема газа к невозмущенному газу процессами теплопроводности; температура в скачке резко меняется на очень малом расстоянии толщины ударной волны, порядка микронов.

Доля кинетической энергии частицы газа единичной массы, Дж/кг, равная

v12 v22 ,

2

переходит в тепловую энергию. Однако при расширении газа от давления p2 снова до давления p1 эта тепловая энергия не полностью преобразуется снова в

кинетическую. Потери механической энергии характеризуются коэффициентом восстановления давления , равным отношению давлений торможения за скачком и до скачка

Коэффициент восстановления давления приходится вводить, например, при измерении скорости сверхзвукового потока трубкой Пито (рис. 2.7, б): в скачке уплотнения, который появляется перед трубкой, происходят потери давления. Отметим, что температура торможения, характеризующая полную энергию газа, одинакова для изоэнтропического и скачкового сжатия. Действитель-

144

но, при переходе через скачок уменьшается механическая энергия частиц газа и возрастает их внутренняя (тепловая) энергия. Полная же энергия, мерой которой является температура торможения, остается неизменной.

Параметры газа за прямым скачком и величины коэффициента восстановления давления приводятся в таблицах прямых скачков облегчающих решение задач.

Важное практическое значение имеют прямые скачки в расширяющейся части сопла Лаваля (рис. 5.5). Эти скачки появляются в случае нерасчетного истечения при достаточно большом противодавлении на выходе из сопла. В прямом скачке скорость переходит в дозвуковую и резко растет давление; если, например, скачок занимает положение 1-1, давление в расширяющейся части сопла изменяется по линии KABC (кривая 1). При дальнейшем возрастании противодавления скачок приближается к наименьшему сечению сопла, давление изменяется по кривым 2, 3, 4. Наконец, если противодавление достаточно велико, течение в сжатом сечении сопла становится дозвуковым, давление изменяется по кривой 5, скорость по кривой 1.

Рис. 5.5. Прямые скачки в расширяющейся части сопла Лаваля

5.2.Косые скачки уплотнения

5.2.1.Возникновение косых скачков

Исследуем обтекание сверхзвуковым потоком ( v1 a , M1 1) острого

клина. При малом растворе клина (рис. 5.6, а) возмущение уплотнения, вносимое клином в поток, также невелико. В этом случае линия возмущения AB совпадает с характеристикой сверхзвукового потока, угол может быть определен по формуле

sin M11 .

При обтекании клина с конечной величиной угла раствора (рис. 5.6, б) возмущение сжатия, которое он вносит в поток, также имеет конечную величи-

145

ну. Волна уплотнения располагается по линии AB и носит название косого скачка уплотнения.

При переходе через косой скачок возрастают давление, плотность и температура газа и уменьшается скорость течения ( v2 v1 ). Угол косого скачка больше угла слабой волны возмущения, наблюдаемой при той же величине числа Маха набегающего потока M1 .

При возрастании скорости набегающего потока v1 (или, что то же, числа M1 ) угол уменьшается; при увеличении угла поворота он, наоборот, растет.

Рис. 5.6. Обтекание сверхзвуковым потоком различных геометрических фигур: а – острый клин; б – клин с конечной величиной угла раствора; в – внутренний тупой угол; г – истечение газа в среду с более высоким давлением

Кроме случая обтекания клина, косой скачок уплотнения наблюдается также при обтекании внутреннего тупого угла (рис. 5.6, в), когда сверхзвуковой поток, текущий вдоль плоской стенки, поворачивает вместе с ней на угол . Наконец, косой скачок появляется при сверхзвуковом истечении газа в среду с более высоким давлением (рис. 5.6, г). В этом случае угол отклонения потока определяется отношением давлений p2 p1 .

146

5.2.2. Изменение параметров потока при переходе через косой скачок

Параметры газа на косом скачке, как и в случае прямого скачка уплотнения, меняются скачкообразно. Отличие от прямого скачка уплотнения состоит в том, что на косом скачке вектор скорости изменяется не только по величине, но и по направлению.

Обозначим нормальные к плоскости скачка составляющие скорости потока индексом n и касательные индексом t (рис. 5.6). Запишем исходные уравнения для вывода зависимостей, связывающих параметры потока при переходе через прямой скачок:

Сопоставляя уравнения неразрывности и изменения количества движения, видим, что v1t v2t , т.е. касательная составляющая скорости не претерпева-

ет разрыва при переходе через косой скачок. Уравнение энергии принимает форму

Это обстоятельство приводит исходную систему уравнений (5.9)-(5.13) к такому же виду, как вид уравнений для прямого скачка (5.1)-(5.3). Разница состоит лишь в том, что вместо полной скорости в систему для косого скачка входит ее нормальная составляющая. Пользуясь решениями, выведенными для прямого скачка получим изменение параметров потока на косом скачке

147

где

Расчет параметров газа за косым скачком по формулам (5.13) оказывается трудоемким. Для его облегчения используются номограммы и таблицы косых скачков [6].

5.2.3. Ударная поляра. Отсоединенный скачок уплотнения

Анализ показывает, что годографом скорости при переходе через косой скачок (т.е. геометрическим местом точек концов вектора скорости v2 ) явля-

ется петлеобразная кривая, изображенная на рис. 5.7 и называемая ударной полярой. Семейства ударных поляр для различных значений скорости сверхзвукового потока приводятся в литературе по газовой динамике, например [4].

Рис. 5.7. Схема ударной поляры

Имея ударную поляру для заданной скорости v1 , легко определить графически величину вектора скорости за скачком v2 и угол скачка после поворота потока на заданный угол. Для этого откладывают угол от вектора v1 ; величина

148

v2 равна (в масштабе) длине отрезка от точки A до пересечения с ударной по-

лярой. Чтобы определить угол скачка, нужно провести прямую через концы векторов v1 и v2 и опустить на нее перпендикуляр из точки A . Угол, образован-

ный этим перпендикуляром с осью vx и есть угол скачка .

Пользуясь ударной полярой, можно определить также предельный угол отклонения потока пред , при котором еще возможно существование косого

скачка. Этот предельный угол получается, если провести из точки A касательную к ударной поляре. Если пред , то при данной скорости набегающего по-

тока v1 косой скачок невозможен: возмущение сжатия оказывается слишком

сильным. В этом случае перед клином появляется отсоединенный скачок уплотнения (рис. 5.8). В отсоединенном скачке, или головной ударной волне, центральная часть есть прямой скачок, при переходе через него течение становится дозвуковым, линии тока здесь криволинейны. С удалением от оси симметрии клина отсоединенный скачок приближается к косому, скорость за ним может быть сверхзвуковой. Каждому значению скорости v соответствует своя определенная величина предельного угла отклонения пред , но даже для M1

она не превосходит 46°.

Рис. 5.8. Отсоединенный скачок уплотнения

5.2.4. Возрастание энтропии и потеря давления в косом скачке

Как и в случае прямого скачка, в косом скачке происходит возрастание энтропии, механическая энергия претерпевает необратимые потери. При этом коэффициент восстановления давления, определяемый по уравнению (5.9), зависит только от параметра M1 sin , где угол скачка (рис. 5.7). С возрастанием

M1 sin коэффициент убывает и соответственно возрастают потери механической энергии . Наибольшей величины они достигают при 90 , т.е. в прямом скачке. Поэтому для уменьшения потерь всегда стремятся заменить прямые скачки косыми. Например, крылья сверхзвуковых самолетов делают тонкими и заостренными спереди. Входные кромки турбинных лопаток, обтекаемых сверхзвуковым потоком, также заостряют. В этом случае прямые скачки заменяются косыми и потери энергии уменьшаются.

149