- •А.П. Бырдин, н.В. Заварзин, а.А. Сидоренко, л.П. Цуканова
- •А.П. Бырдин, н.В. Заварзин, а.А. Сидоренко, л.П. Цуканова
- •1. Элементы высшей алгебры
- •1.1. Матрицы
- •1.2. Определители
- •1.3. Системы трех уравнений первой
- •Матричная запись системы линейных уравнений. Понятие обратной матрицы Рассмотрим снова систему уравнений
- •1.5. Метод гаусса
- •Векторная алгебра
- •2.1. Скалярные и векторные величины
- •Проекция
- •2.3. Линейные операции над векторами
- •3. Основные свойства линейных операций.
- •4. Теоремы о проекциях векторов.
- •Скалярное произведение векторов
- •1. Определение и основные свойства скалярного произведения.
- •2. Выражение скалярного произведения через координаты векторов.
- •Векторное произведение
- •2 . Основные свойства векторного произведения.
- •4. (Свойство сочетательности по отношению к скалярному множителю).
- •5. (Свойство распределительности относительно суммы векторов).
- •3. Выражение векторного произведения через координаты векторов.
- •Смешанное произведение трех векторов
- •В силу тождества (1) смешанное произведение можно обозначить более простым символом .
- •2. Выражение смешанного произведения через координаты векторов.
- •Аналитическая геометрия на плоскости
- •3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •Расстояние между двумя точками.
- •Площадь треугольника.
- •3.2. Полярные координаты
- •3.3. Линии первого порядка
- •6. Общее уравнение прямой.
- •Умножая данное уравнение на μ, получаем нормальное уравнение
- •3.4. Линии второго порядка
- •1. Эллипс.
- •3. Парабола.
- •3.5. Общее уравнение линии второго порядка
- •1. Приведение общего уравнения линии второго порядка к простейшему виду.
- •Аналитическая геометрия в пространстве
- •4.1. Уравнение плоскости
- •Раскрывая скобки, приведем уравнение (1) к виду
- •4.2. Уравнение прямой
- •4.3. Поверхности второго порядка
- •5. Предел последовательности
- •5.1. Числовые последовательности
- •2. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •5.2. Сходящиеся последовательности
- •1. Понятие сходящейся последовательности.
- •З а м е ч а н и е. Неравенство (1) равносильно неравенствам
- •2. Основные свойства сходящихся последовательностей.
- •Нетрудно видеть, что для того, чтобы последовательность имела предел а, необходимо и достаточно, чтобы , где есть бесконечно малая.
- •5.3. Монотонные последовательности
- •1. Определение и признак сходимости монотонных последовательностей.
- •6.1. Классификация функций
- •6.2. Предел функции
- •6.3. Теоремы о пределах функции
- •6.4. Два замечательных предела
- •2. Второй замечательный предел
- •6.5 Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •Бесконечно малые функции.
- •2. Бесконечно большие функции.
- •6.6. Сравнение бесконечно малых
- •6.7. Неопределенные выражения
- •6.8. Непрерывные функции
- •6.9. Классификация точек разрыва
- •Определение и классификация точек разрыва функции.
- •6.10. Основные свойства непрерывных функций
- •Дифференцирование
- •7.1. Производная функции
- •4. Правая и левая производные.
- •7.2. Дифференцируемость функции
- •1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке.
- •2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
- •7.3. Дифференциал функции
- •Правила дифференцирования.
- •1. Правила дифференцирования.
- •3. Производные тригонометрических функций.
- •6. Дифференцирование сложной функции.
- •7.5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •2. Формулы для n-х производных некоторых функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •Параметрическое задание функции
- •Применение дифференциального
- •8.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •8.2. Раскрытие неопределенностей. Правило лопиталя.
- •8.3. Формула тейлора
- •Формула Тейлора.
- •3. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •8.4. Исследование поведения функций
- •1. Признак монотонности функции.
- •2. Отыскание точек локального экстремума функции.
- •Ответы к п.П. 2.1 2.4
- •Задачи к п. 2.5
- •Ответы к п. 2.5
- •Задачи к п. 2.6
- •Ответы к п. 2.6.
- •Задачи к п.П. 3.1 – 3.3
- •Ответы к п.П. 3.1 – 3.3
- •Задачи к п.П. 3.4 – 3.5
- •Ответы к п.П. 3.4 – 3.5
- •Задачи к п.П. 4.1 4.2
- •Задачи к п. 4.3
- •Ответы к п. 4.3
- •Задачи к п.П. 5.1 6.4
- •Ответы к п.П. 5.1 6.4
- •Задачи к п.П. 6.5 6.9
- •Ответы к п.П. 6.5 6.9
- •Задачи к п.П. 7.1 – 7.6
- •Ответы к п.П. 7.1 – 7.6
- •Задачи к п.П. 8.1 – 8.3
- •Ответы к п.П. 8.1 – 8.3
- •Задачи к п. 8.4
- •Ответы к п. 8.4
- •Вопросы к экзамену
- •Рекомендуемая литература
- •Оглавление
- •7. Дифференцирование ……..…………………………..125
- •8. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций………...……………………….…..150
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Вопросы к экзамену
Определители и их свойства.
Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя.
Правило Крамера.
Матрицы и действия над ними. Обратная матрица и ее применение для решения систем.
Метод Гаусса.
Векторы. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы вектора.
Линейные операции над векторами. Разложение вектора по базису.
Скалярное произведение, его свойства и вычисление.
Векторное произведение, его свойства и вычисление.
Смешанное произведение, его свойства и вычисление.
Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости.
Различные уравнения прямой линии на плоскости.
Линии второго порядка.
Преобразование координат при переносе начала и повороте осей координат.
Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду.
Различные уравнения плоскости.
Различные уравнения прямой линии в пространстве.
Поверхности второго порядка.
Числовые множества. Модуль числа и его свойства.
Числовые последовательности. Предел последовательности.
Основные свойства сходящихся последовательностей.
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, их свойства.
Монотонные последовательности. Число е.
Функция. Основные элементарные функции и их графики.
Предел функции. Односторонние пределы. Основные теоремы.
Замечательные пределы. Неопределенные выражения.
Сравнение бесконечно малых.
Непрерывные функции. Точки разрыва и их классификация.
Основные теоремы о непрерывных функциях.
Производная, ее геометрический и физический смысл. Правая и левая производные. Связь понятий непрерывность и дифференцируемость.
Правила дифференцирования.
Дифференцирование сложной функции.
Дифференцирование обратной функции.
Производные основных элементарных функций. Таблица производных. Логарифмическая производная.
35. Теоремы Ферма и Ролля.
Теорема Лагранжа.
Теорема Коши.
Правило Лопиталя.
Формула Тейлора.
Разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора.
Возрастание и убывание функций.
Точки экстремума. Необходимое и достаточное условия экстремума.
Направление выпуклости и точки перегиба.
Асимптоты.
Общая схема исследования функций.
Рекомендуемая литература
Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Наука, 2000.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1980.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1980.
Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука, 1976.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1978, т. 1.
Шипачев В.С. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 1998.
Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа / Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1981.
Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1980.
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1977.
Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Харьков: ХГУ, 1973. Ч. 1 и 2.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1986. Ч. 1.