4. Правила дифференцирования.

ПРОИЗВОДНЫЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

1. Правила дифференцирования.

Теорема 1. Если функции и = и(х) и v = v(х) дифферен­цируемы в точке х, то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии, что v(х)  0) также диффе­ренцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы:

(u  v) = и  v, (и  v) = и v + u v',

С л е д с т в и е. Если функции и = и(х) и v = v(х) дифферен­цируемы в точке х, то

d(u  v) = dи  dv, d(и  v) = v dи + u dv,

2. Производная постоянной функции. Производная функции у = f(x) = C, где С – постоянное число, выражается формулой y = 0. А, в силу теоремы 1, постоянный множитель можно выносить за знак производной.

3. Производные тригонометрических функций.

1) Производная функции y = sin x выражается формулой y = cos x.

2) Производная функции y = cos х выражается формулой y =  sin х.

3) Производная функции y = tg x выражается формулой

4) Производная функции y = ctg x выражается формулой

4. Производная логарифмической функции. Производная функции у = log_а х ( 0 < а  1 ) выражается формулой

С л е д с т в и е. Если у = log_e x = ln х, то у = (ln х) = 1/x.

5. Производная показательной функции и обратных тригонометрических функций. Пусть функция y = f(x) удовлетворяет условиям теоремы о существовании обратной функции и функция х = (у) является для нее обратной. Тогда имеет место следующая теорема.

Т

Рис. 48

еорема 2 (о производной обратной функции). Если функция y = f(x) имеет в точке х₀ производную f(х₀)  0, то обратная функция х = (у) также имеет в соответствующей точке у₀ = f(х₀) производную, причем

(1)

Теорема имеет простой ге­ометрический смысл. Рассмотрим в неко­торой окрестности точки х₀ график функ­ции y = f(x)

( или обратной функции х = (у) ). Пусть точке х₀ на этом графике соответствует точка М (рис. 48). Как из­вестно, производная f  (х₀) равна тангенсу угла  наклона касательной, проходящей через точку М, к оси Ох. Производная обратной функции   (у₀) равна тангенсу угла  наклона той же касательной к оси Оу. Поскольку углы  и  в сумме составляют /2, то формула (1) выражает очевидный факт:

Используя сформулированную теорему, продолжим вычисле­ние производных простейших элементарных функций.

1) Производная функ­ции y = (0 < а  1) выражается формулой

у = ln a.

С л е д с т в и е 1. Если y = , то у = .

С л е д с т в и е 2. Если y = , то у =

функция sh x называется гиперболическим синусом, а функция ch x называется гиперболическим косинусом.

С л е д с т в и е 3. Если y = , то у = sh x.

С л е д с т в и е 4. Если y = , то у =

функция th x называется гиперболическим тангенсом.

С л е д с т в и е 5. Если y = , то у =

функция cth x называется гиперболическим котангенсом.

2) Производная функции y = arcsin x выражается формулой

3) Производная функции y = arccos x выражается формулой

4) Производная функции y = arctg х выражается формулой

5) Производная функции у = arcctg x выражается формулой