6.9. Классификация точек разрыва

1. Определение и классификация точек разрыва функции.

Опре­деление. Точка х₀ называется точкой разрыва функции f (x), если f(x) в точке х₀ не является непрерывной.

Разрывы функций классифицируются следующим образом.

Р а з р ы в 1-го р о д а. Точка х₀ называется точкой разрыва 1-го рода функции f (x), если в этой точке функция f (x) имеет конеч­ные, но не равные друг другу правый и левый пределы:

Пример. Для функции f(x) = sign x точка х = 0 является точ­кой разрыва 1-го рода, так как

У с т р а н и м ы й р а з р ы в. Точка х₀ называется точкой устранимого разрыва функции f (x), если в этой точке функция f (x) имеет конеч­ные, равные друг другу правый и левый пределы:

Пример. Для функции точка х = 0 является точ­кой устранимого разрыва.

Р а з р ы в 2-го р о д а. Точ­ка х₀ называется точкой разрыва 2-го рода функции f (x), если в этой точке функция f(x) не имеет, по крайней мере, одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

Пример. Для функции f (x) = точка х = 0 является точкой разрыва 2-го рода, так как

2. Кусочно-непрерывные функции. Функция f(x) называется кусочно-непрерывной на отрезке [а, b], если она

Рис. 44

непрерывна во всех внутренних точках [а, b], за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых имеет разрыв 1-го рода и, кроме того, имеет односторонние пределы

в точках а и b. Функция называется кусочно-непрерывной на числовой прямой, если она кусочно-непрерывна на любом отрезке.

Пример. Функция f(x) = [x] кусочно-непрерывна как на любом отрезке, так и на всей числовой прямой. Напомним, что символ [x] обозначает целую часть числа x. График функции f(x) = [x] изображен на рис. 44, функция [x] в точках х = п ( п = 0, ±1, ±2, ...) непрерывна справа и разрывна слева. Во всех других точках она непрерывна как справа, так и слева.

6.10. Основные свойства непрерывных функций

Теорема 1 (об устойчивости знака непрерывной функции). Пусть функция f(х) непрерывна в точке х₀ и f(х₀)  0. Тогда существует  > 0 такое, что для всех функция f(х) имеет тот же знак, что f(х₀).

Теорема 2 (первая теорема Больцано-Коши). Пусть функция f(х) непрерывна на отрезке [а, b] и на концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует точка с  (а, b), в которой f(c) = 0.

Сформулированная теорема имеет простой геометрический смысл: непрерывная кривая при переходе из одной полуплоскости, границей которой является ось абсцисс, в другую пересекает эту ось.

Теорема 3 (вторая теорема Больцано-Коши). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], причем f(а) = А, f(b) = B. Пусть, далее, С – любое число, заключенное между А и В. Тогда на отрезке [а, b] найдется точка с такая, что f(c) = С.

Другими словами, непрерывная функция при переходе от одного значения к другому принимает и все промежуточные значения.

Теорема 4 (первая теорема Вейерштрасса). Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [а, b], то она ограничена на этом отрезке.

З а м е ч а н и е. Теорема неверна, если отрезок [а,b] заменить интервалом (а,b). Так, например, функция f(x) = непрервна на (0,1), но не ограничена, так как

Теорема 5 (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она достигает на этом отрезке по меньшей мере один раз наибольшего значения М и наименьшего значения m.

Теорема 6. Пусть функция z = (x) непрерывна в точке х₀ , а функция y = f(z) непрерывна в точке z₀ = (х₀). Тогда сложная функция y = f((x)) непрерывна в точке х₀ .

Теорема 7. Пусть функция y = f(x) определена, строго монотонна и непрерывна на некотором промежутке X и пусть Y  множество ее значений. Тогда на множестве Y обратная функция x = (y) однозначна, строго монотонна и непрерывна.