1.5. Метод гаусса

Метод Гаусса основан на приведении системы уравнений к треугольному виду. Это достигается последовательным исключением неизвестных из уравнений системы: сначала с помощью одного из уравнений исключается x из всех остальных уравнений, а затем с помощью какого-либо из оставшихся уравнений исключается y из всех оставшихся, кроме двух использованных и так далее. Для удобства исходная система уравнений и полученные из нее системы записываются в виде матриц, элементы которых являются коэффициентами при неизвестных, а последний столбец состоит из свободных членов.

Пример. Доказать совместность системы

линейных уравнений и решить ее методом Гаусса.

Р е ш е н и е. Умножим первую строку матрицы на 3 и прибавим ее ко второй и третьей строкам матрицы. Получим

Особенность данной системы уравнений заключается в том, что после проделанных операций из третьего уравнения исключились сразу две неизвестные y и z.

Перепишем полученную систему в явном виде

Из последнего уравнения найдем y = 0 и подставим во второе уравнение. Получим z = 2 . Найденные значения y и z подставим в первое уравнение и определим x = 1.

К треугольному виду приводятся только системы уравнений, у которых матрица, составленная из коэффициентов, невырожденная. Метод Гаусса позволяет сделать и заключение о совместности системы: если полученная треугольная система имеет решение, то исходная система уравнений также имеет решение. В данном случае система совместна и ее решение (1,0,2).

Векторная алгебра

2.1. Скалярные и векторные величины

Многие физические величины полностью определяются заданием некоторого числа. Это, например, объем, масса, плотность, температура тела и др. Такие величины называются скалярными. В связи с этим числа иногда называют скалярами. Но есть и такие величины, которые определяются заданием не только числа, но и некоторого направления. Например, при движении тела следует указать не только скорость, с которой движется тело, но и направление движения. Точно так же, изучая действие какой-либо силы, необходимо указать не только значение этой силы, но и направление ее действия. Такие величины называются векторными. Для их описания было введено понятие вектора, оказавшееся полезным для математики.

Любая упорядоченная пара точек А и В пространства определяет направленный отрезок, т. е. отрезок вместе с заданным на нем направлением. Если точка А первая, то ее называют началом направленного отрезка, а точку В – его концом. Направлением отрезка считают направление от начала к концу.

Определение 1. Направленный отрезок называется вектором.

Будем обозначать вектор символом , причем первая буква означает начало вектора, а вторая – его конец. Вектор также обозначают и одной буквой с черточкой наверху, например . Направление вектора на рисунке указывают стрелкой (рис. 1).

А В

Рис. 1

Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается или просто 0.

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной и обозначается .

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно. Нулевой вектор будем считать направленным одинаково с любым вектором; длина его равна

нулю, т. е. .

Рис. 2 Рис. 3

Теперь можно сформулировать важное понятие равенства двух векторов.

О пределение 2. Векторы называются равными , если они

коллинеарны, одинаково направлены и их длины равны.

На рис. 2 только справа равные векторы. Из определения равенства векторов следует, что если данный вектор перенести параллельно самому себе, то получится вектор, равный данному. В связи с этим векторы в аналитической геометрии называют свободными.