2. Бесконечно большие функции.

Определение 2. Функция f (х) называется бесконечно большой функцией (или просто бесконечно большой) в точке х = х₀ (или при х х₀), если для любого A  0 существует   0 такое, что для всех х  X, х  х₀, удовлетворяю­щих неравенству |x  x₀|  , выполняется неравенство |f (х)|  A.

В этом случае пишут и говорят, что функция стремится к бесконечности при х  х₀, или что она имеет бесконечный предел в точке х= х₀.

Если же выполняется неравенство f(х)  A ( f(х)  A ), то пишут и говорят, что функция имеет в точке х₀ бесконечный предел, равный +  ( ).

По аналогии с конечными односторонними пределами определя­ются и бесконечные односторонние пределы:

Аналогично определяются бесконечно большие функции при х   x  .

Между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями существует такая же связь, как и между соответствующими последовательностями, т. е. функция обратная бесконечно малой, является бесконечно большой, и наоборот.

6.6. Сравнение бесконечно малых

И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ФУНКЦИЙ

Как было показано, сумма, разность и произведение бесконечно малых функций являются бесконечно малыми функциями. Этого, вообще говоря, нельзя сказать о частном: деление одной бесконечно малой на другую может привести к различным результатам. Так, например, если (х) = х, (х) = 2х, то

Если же (х) = х, (х) = х², то

Рассмотрим правила сравнения бесконечно малых функций. Пусть при х х₀ функции (х) и (х) являются бесконечно малыми. Тогда:

1) если , то (х)  бесконечно малая более высокого порядка, чем (х) (говорят также, что (х) имеет более высокий порядок малости, чем (х), при х  х₀ ); при сравнении бесконечно малых функций часто используют символ о («о малое»), если функция (х) – бесконечно малая в точке х₀ более высокого порядка, чем бесконечно малая в этой же точке (х), то это условно записывается так: (х) = о((х));

2) если (А  число), то (х) и (х)  бесконечно малые одного порядка;

3) если , то (х) и (х)  эквивалентные бесконечно малые. Эквивалентность обозначается так: (х) ~ (х).

В некоторых случаях недостаточно знать, что одна из двух бес­конечно малых является бесконечно малой более высокого порядка, чем другая. Нужно еще оценить, как высок этот порядок. Поэтому вводится следующее правило:

4) если , то (х)  бесконечно малая п-го порядка относительно (х).

Существуют аналогичные правила для сравнения бесконечно малых функций при х   x  +, x  , а также при х  х₀ справа и слева.

Р а с с м о т р и м п р и м е р ы.

1. Функции sin х и х являются при х  0 эквивалентными бесконечно малыми, так как .

2. Функции sin 3х и sin х являются при х  0 бесконечно ма­лыми одного порядка, так как

3. Функция (x) = l – cos х является при x  0 бесконечно малой второго порядка малости по отношению к бесконечно малой х, так как

Если функции (х) и (х)  бесконечно малые в точке х₀, то функция (х)(х) имеет более высокий порядок малости, чем каждый из сомножителей. Если (x) ~ ₁(х) и (х) ~ ₁(х) при х  х₀ и существует , то существует и , причем

Пример. Найти

Р е ш е н и е. Так как sin 5х ~ 5х, х + х³ ~ х при х  0, то

Для бесконечно больших функций имеют место аналогичные правила сравнения. Рассмотрим несколько примеров.

1. Функции (х) = (1+х)/х и (х) = 1/х являются при х  0 эквивалентными бесконечно большими, так как

В этом случае говорят также, что (х) и (х) имеют одинаковый порядок роста при х  0.

2. Функция (х) = x²+4 является при х   бесконечно большой более низкого порядка, чем (х) = х³ – 2 (имеет менее высокий порядок роста), так как

3. Бесконечно большие при х   функции (x) = 2x²+1, (x) = x² 1 имеют одинаковый порядок роста, так

4. Функция (х) = х⁴+х+1 является при х   беско­нечно большой второго порядка по отношению к бесконечно боль­шой (х) = х²+1, так как