- •Кратные интегралы. Векторный анализ
- •Введение
- •1.2. Вычисление двойного интеграла в декартовых прямоугольниках. Изменение порядка интегрирования
- •1.3. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •1.4. Применение двойных интегралов для вычисления площадей и объемов
- •2. Тройные интегралы
- •2.1. Тройной интеграл. Геометрический и физический смысл тройного интеграла
- •2.2. Замена переменных в кратных интегралах
- •2.3. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах
- •2.4. Применение кратных интегралов в задачах механики и физики
- •3. Криволинейные интегралы
- •3.1. Криволинейный интеграл первого рода
- •3.2. Криволинейный интеграл первого рода, его физический смысл и механические приложения
- •3.3. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
- •3.4. Формула Грина. Вычисление площадей с помощью криволинейного интеграла второго рода
- •4. Поверхностные интегралы
- •4.1. Поверхностные интегралы первого рода
- •4.2. Поверхностные интегралы второго рода
- •4.3. Формула Остроградского
- •4.4. Формула Стокса
- •5. Теория поля
- •5.1. Скалярные поля
- •5.2. Векторные поля
- •5.3. Поток векторного поля. Дивергенция
- •5.4. Циркуляция векторного поля
- •5.5. Ротор векторного поля
- •6. Оператор Гамильтона
- •Заключение
- •Оглавление
- •5.5. Ротор векторного поля………….………………………156
- •6. ОПератор Гамильтона………….……………………160
- •3 94026 Воронеж, Московский просп.,14
2. Тройные интегралы
2.1. Тройной интеграл. Геометрический и физический смысл тройного интеграла
Определение тройного интеграла
Определение тройного интеграла аналогично определениям определенного и двойного интегралов.
П
Рис.
2.1
f: TR. Рассмотрим разбиение {Tк} тела Т с диаметрами dk и объемами Vк (к = 1, …, n) (рис. 2.1). Наибольший из диаметров dk назовем диаметром произведенного разбиения и обозначим через d.
В каждом частичном теле Tк выберем произвольную точку ( ) и составим сумму
Jn = Vк. (2.1)
Суммы вида (2.1) называются трехмерными интегралами. Суммами Римана функции f(x, y, z), соответствующими разбиению {Tк} с отмеченными точками ( ).
Определение 1. Предел трехмерных интегральных сумм вида (2.1) при d 0 (если он существует) называется тройным интегралом (по Риману) от функции f(x, y, z) по области Т и обозначается . Таким образом
= Vк. (2.2)
В этом случае функция f(x, y, z) называется интегрируемой (по Риману) в области Т, переменные x, y, z - переменными интегрирования; f(x, y, z) - подынтегральной функцией; dV = dxdydz - элементом объема в декартовых прямоугольных координатах, Т – областью интегрирования.
Геометрический и физический смысл
тройного интеграла
Тройной интеграл по области Т от функции f(x, y, z) 1 на Т равен объему этого тела. В декартовых прямоугольных координатах получим
= . (2.3)
В этом состоит геометрический смысл тройного интеграла. Доказательство этого утверждения непосредственно следует из определения тройного интеграла.
Тройной интеграл по области Т от плотности (x, y, z) материального тела Т равен массе этого тела
m = . (2.4)
Эта формула выражает физический смысл тройного интеграла. Доказательство этого утверждения аналогично доказательству подобного утверждения в двумерном случае.
Свойства тройных интегралов
Можно доказать, что если подынтегральная функция непрерывна на компактном теле Т с кусочно-гладкой границей, то тройной интеграл (2.2) всегда существует.
Свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов. Ограничимся перечислением этих свойств. Предполагаем непрерывность подынтегральных функций в рассматриваемых областях.
1. Тройной интеграл по области Т равен объему этого тела.
2. Свойство аддитивности
Если пространственная область Т разбита на две непересекающиеся области T1 и T2, то
= + .
3. Свойство линейности
Если функции f1 и f2 интегрируемы в области Т, то и функция c1f1 + c2f2, где c1 и c2 – любые вещественные константы, также интегрируема в области Т, причем
=c1 +
+c2 .
4. Свойство монотонности
Если всюду в области Т выполняется неравенство f1(x, y, z) f2(x, y, z), то
.
5. Абсолютная величина тройного интеграла не превосходит тройного интеграла от абсолютной величины подынтегральной функции, т.е.
│ │ .
6. Теорема о среднем. Если функция f(x, y, z) непрерывна в замкнутой ограниченной области ТR3, то в этой области найдется точка ( )T, что =
=V f( ), где V – объем области Т.
7. Если функция f(x, y, z) непрерывна в замкнутой ограниченной области Т R3, то mV ≤ MV, где m и M – наименьшее и наибольшее значение функции f(x, y, z) в области V.
Вычисление тройных интегралов в декартовых
прямоугольных координатах
Пусть область интегрирования Т – компактное тело, выпуклое вдоль оси ОZ, ограничено снизу и сверху соответственно гладкими поверхностями z=z1(x, y) и z2(x, y), причем проекция тела Т на плоскость ХОУ есть плоская фигура Фху (рис.2.2). Поэтому при фиксированных (х, у)Фху соответствующие аппликаты Z точек тела Т изменяются в пределах z1(x, y) z z2(x, y).
Рис.
2.2
Рис. 1.10
Можно получить
= (2.5)
Предположим, что фигура Фху выпукла вдоль оси ОУ, то есть определяется неравенствами а х b, у1(x) у у2(x), где у1(x) и у2(x) – непрерывные функции на отрезке а, b.
Тогда
= . (2.6)
Из формул (2.5) и (2.6) получим:
= (2.7)
Интеграл в правой части (2.7) называется повторным интегралом.
Если прямые, параллельные оси ОZ, пересекут тело Т более чем в двух точках, то надо разбить его на части так, чтобы для каждой из этих частей указанные прямые пересекали тело не более, чем в двух точках. Затем применить свойство аддитивности тройного интеграла. Вычисляя по формуле (2.7) для каждой из полученных частей тройной интеграл и складывая полученные результаты, найдем интеграл по всему телу Т.
Если Т – прямоугольный параллелепипед, образованный плоскостями х = а1, х = b1; у = а2, у = b2; z = а3, z = b3, то все пределы постоянны и результат интегрирования не зависит от порядка, в котором производится интегрирование
= . (2.8)
Таким образом, для вычисления тройного интеграла, необходимо:
1. Проверить условие выпуклости области.
Если область выпукла вдоль оси ОZ, то составить выражение вида (2.7), в котором z = z1(x, y) и z = z2(x, y) – уравнения линий, представляющих собой соответственно множество точек входа в область Фху и выхода из нее; а и b – абсциссы крайних точек области Фху в направлении оси ОХ.
2. Последовательно вычислить:
а) внутренний интеграл , где z – переменная интегрирования; х и у считаются фиксированными; результатом вычислений является некоторая функция двух переменных F(х, у);
б) интеграл , где у – переменная интегрирования, а х –считается фиксированным; результат вычисления – функция (х) одной переменной;
в) внешний интеграл , где х – переменная интегрирования. В результате получается некоторое действительное число.
Примеры решения задач/
Задача 2.1. Вычислить , где область ограничена поверхностями z1 = x2 + y2, х = 0, z = 0, z = 1.
Рис. 1.11
0 у ; пределы изменения по х: 0 х 1. Получим
= .
Вычислим повторный интеграл последовательно:
a) =xy[z2/2] =xy[0.5-(x2+y2)2/2]=
=(xy–x5y-2x3y3-xy5)/2;
б) 0.5 (xy–x5y–2x3y3–xy5)dy=
=[(xy2/2–x5y2/2–2x3y4/4–xy6/6)/2] =
=[x(1-x2)/2-x5(1-x2)/2-2x3(1-x2)2/4-x(1-x2)3/6]/2=(2x/3-x3+x7/3);
в) 0.5 (2x/3–x3+x7/3)dx=[(x2/3–x4/4+x8/24)/4] = /32.
Задача 2.2. Вычислить интеграл: ,
где V – тетраэдр, ограниченный координатными плоскостями и плоскостью 2х+2у+z–6=0.
Рис.
2.3
Проекцией области V на плоскость ХОУ является треугольник ОАВ.Уравнение прямой АВ получим, решая совместно уравнения плоскостей:
Отсюда, уравнение прямой АВ имеет вид: х+у–3=0.
В области Dхоу переменная х изменяется в пределах 0 х 3, а переменная у изменяется 0 у 3–х.
Поэтому:
.
Вычислим внутренний интеграл в тройном интеграле
.
Следовательно:
.
Вычислим внутренний интеграл в двойном интеграле:
.
Получим
.
Ответ: .
Задачи для самостоятельного решения
Задача 2.3. Вычислить тройной интеграл:
,
где V – тело, ограниченное поверхностями у = x2; х = y2; z = xy; z = 0.
Указание.
.
Ответ: .
Задача 2.4. Вычислить тройной интеграл:
,
где V–пирамида, ограниченная плоскостями х=0, у=0, z=0, x+y+z=1.
Ответ: .
Задача 2.5. Вычислить тройной интеграл:
,
где V – тело, ограниченное параболоидом z = x2 + y2 и плоскостью z = 1.
Рис.
2.4
х2+у2=1 (рис. 2.4). В области интегрирования переменная изменяется в пределах х2+у2 z 1.В области Dхоу переменная у изменяется от ее значения на нижней части окружности до значения на верхней части этой же окружности. Переменная х изменяется в пределах – 1 х 1.
По формуле (2.1) получим:
.
Ответ: .