4.3. Формула Остроградского

Сейчас мы установим формулу, связывающую тройной интеграл по пространственной области с поверхностным интегралом, взятым по внешней стороне поверхности, ограничивающей эту область. Эта формула называется формулой Остроградского.

Введем для удобства следующие термины. Пространственную область V, ограниченную двумя кусочно-гладкими поверхностями Σ₁ и Σ₂, заданными уравнениями z = z₁(x, у) и

z = z₂(х, у), и боковой цилиндрической поверхностью Σ₃ с образующими, параллельными оси z, мы назовем областью, цилиндрической вдоль оси z или, короче, «z - цилиндрической». Поверхности z = z₁ (х, у) и z = z₂(x, у) назовем ее криволинейными основаниями, нижним и верхним (рис. 4.9).

Аналогично область, ограниченную кусочно-гладкими поверхностями x = x₁(у, z) , x = x₂(у, z) и цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси х назовем «х - цилиндрической». Также определяются и «у - цилиндрические» области. Назовем область V простой, если ее можно разбить как на конечное число z-цилиндрических областей, так и на конечное число областей каждого из двух остальных типов.

Рис. 4.9

Пусть V - некоторая z - цилиндрическая область с основаниями Σ₁ ,Σ₂, заданными уравнениями и боковой поверхностью Σ₃. Соединение этих трех поверхностей, т. е. всю границу области V, обозначим Σ. При этом будем рассматривать внешнюю cторону поверхности Σ. Возьмем функцию R(x, у, z) , которая определенна и непрерывна вместе со своей частной производной ∂R/∂z в области Σ (включая ее границу) и рассмотрим

(∂R/∂z) dz = R(x, у,z₁(х, y)) - R(x, у, z₂(x, у)).

Проинтегрируем это равенство по области D, представляющей собой проекцию V на плоскость X0Y, заменяя повторный интеграл тройным

(∂R/∂z) dxdydz= [R(x,у,z₂(x,y)) - R (х,у,z₁ (x,y))] dxdy.

Интеграл по области D можно записать в виде суммы поверхностных интегралов от функций R(x, у, z) , взятых по верхней стороне поверхности z = z₂(x, у) и по нижней стороне той же поверхности z = z₁(х, у), взятый с обратным знаком. Таким образом, мы получим

(∂R/∂z) dxdydz = R dxdy + R dxdy.

Прибавив к правой части этой формулы интеграл

R dxdy (равный нулю), взятый по внешней стороне боковой поверхности Σ₃, мы получим справа поверхностный интеграл, вычисленный по внешней стороне всей поверхности Σ, ограничивающей область V. Таким образом, мы получаем равенство

(∂R/∂z)dxdydz= Rdxdy= Rcos( ,z)dσ (4.11)

Это равенство справедливо и для любой области V, которую можно разбить на конечное число z - цилиндрических частей. Действительно, разобьем V на части V_i, напишем для каждой из них равенство (4.11) и просуммируем эти равенства. Слева в равенстве получим тройной интеграл, взятый по всей области V, а справа - cумму поверхностных интегралов, взятых по частям поверхности Σ, ограничивающей V, и по тем поверхностям, с помощью которых V разбивается на части V_i, причем по каждой из этих последних инте­грал берется дважды, один раз по одной ее стороне, а второй раз по другой. Поэтому в результате суммирования все интегралы, взятые по разделяющим поверхностям, взаимно уничтожаются, т.е.

(∂R/∂z) dxdydz = R dxdy

Аналогично можно получить равенства

(∂P/∂x)dxdydz= Pdzdy, (∂Q/∂y) dxdydz= Q dxdz .

Эти формулы выполнены для всякой области V, которую можно разбить на ко­нечное число цилиндрических областей.

Пусть, наконец, V- некоторая простая область и пусть функции Р, Q, R вместе со своими производными непре­рывны в этой области всюду, включая ее границу, тогда можно записать равенство

((∂P/∂x)+(∂Q/∂y)+(∂R/∂z))dxdydz= Pdydz+Qdzdx+

+R dxdy = [P cos( ,x)+Qcos( ,y)+R cos( ,z)]dσ.

Это и есть формула Остроградского.

Замечание. При выводе формулы Остроградского мы считали, что функции Р, Q, R и их частные производные непрерывны (а следовательно, и ограничены) в замкнутой простой области.

Можно доказать справедливость формулы Остроградского при следующих более общих условиях:

1. V - ограниченная область, граница которой состоит из конечного числа кусочно-гладких поверхностей.

2. Функции Р (х, y, z), Q (х, у, z) и R (х, у, z) непрерывны, а следова­тельно, и ограничены в замкнутой области V.

3. Производные ∂P/∂x, ∂Q/∂y, ∂R/∂z существуют и непрерывны внутри области V (без границы) и интеграл.

Задача 4.1. Вычислить интеграл

J = x³ dydz+y³ dzdx+z³ dxdy, взятый по сфере х²+у²+z²= a².

Решение.

Из формулой Остроградского, будем

J=3 (x²+y² +z²) dxdydz = 3 dφ dθ r⁴ sinθ dr =0,8π a⁵,

где r, φ , θ - сферические координаты.