- •Кратные интегралы. Векторный анализ
- •Введение
- •1.2. Вычисление двойного интеграла в декартовых прямоугольниках. Изменение порядка интегрирования
- •1.3. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •1.4. Применение двойных интегралов для вычисления площадей и объемов
- •2. Тройные интегралы
- •2.1. Тройной интеграл. Геометрический и физический смысл тройного интеграла
- •2.2. Замена переменных в кратных интегралах
- •2.3. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах
- •2.4. Применение кратных интегралов в задачах механики и физики
- •3. Криволинейные интегралы
- •3.1. Криволинейный интеграл первого рода
- •3.2. Криволинейный интеграл первого рода, его физический смысл и механические приложения
- •3.3. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
- •3.4. Формула Грина. Вычисление площадей с помощью криволинейного интеграла второго рода
- •4. Поверхностные интегралы
- •4.1. Поверхностные интегралы первого рода
- •4.2. Поверхностные интегралы второго рода
- •4.3. Формула Остроградского
- •4.4. Формула Стокса
- •5. Теория поля
- •5.1. Скалярные поля
- •5.2. Векторные поля
- •5.3. Поток векторного поля. Дивергенция
- •5.4. Циркуляция векторного поля
- •5.5. Ротор векторного поля
- •6. Оператор Гамильтона
- •Заключение
- •Оглавление
- •5.5. Ротор векторного поля………….………………………156
- •6. ОПератор Гамильтона………….……………………160
- •3 94026 Воронеж, Московский просп.,14
3.3. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
Если функции Р(х,у) и Q(x,y) определены и непрерывны вместе со своими частными производными и в замкнутой ограниченной односвязной областью D, то для того, чтобы в криволинейный интеграл
не зависел от формы пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках этой области выполнялось условие
= . (3.30)
Но условие (3.30) является необходимым и достаточным для того, чтобы выражение Р(х,у)dx + Q(x,y)dy, являлось полным дифференциалом некоторой функции. Поэтому можно утверждать, что для того, чтобы криволинейный интеграл не зависел от пути интегрирования АВ, а зависел только от его концов и достаточно, чтобы подынтегральное выражение Рdx + Qdy, было полным дифференциалом некоторой функции.
Но, если выполняются условия (3.30) и выражение Рdx + Qdy, является полным дифференциалом некоторой функции, то криволинейный интеграл (х,у)dx + Q(x,y)dy, взятый по любому замкнутому контуру L целиком лежащему в односвязной ограниченной замкнутой области D равен 0.
Если путь, по которому вычисляется криволинейный интеграл, безразличен, то употребляется обозначение:
(3.31),
где (х0, у0) и (х1, у1) – координаты начала и конца пути интегрирования.
Задача 3.13. Выяснить, будет ли криволинейный интеграл зависеть от формы пути интегрирования:
.
Решение. Здесь Р(х, у) = 6ху + 4у2 + 5у,
а функция Q(x,y) = 3x2 + 8xy + 5x. Интеграл не будет зависеть от пути интегрирования, если выполнено условия (3.30).
; ,
Следовательно, , и криволинейный интеграл зависит от формы пути интегрирования.
Задача 3.14. Убедится, что интеграл
не зависит от формы пути интегрирования, и после этого вычислить его по отрезку прямой, соединяющей точки (2, 3) и (3, 4).
Решение. Р(х, у) = 6ху2 + 4х3 , Q(x,y) = 6x2y + 3у2.
; , т.е. .
Интеграл не будет зависеть от пути интегрирования.
Уравнение прямой, соединяющий точки с координатами (2, 3) и (3, 4) имеет вид: у = х + 1; dy = dx.
Получим:
.
Ответ: 426.
Задача 3.15. Будет ли криволинейный интеграл,
,
взятый по замкнутому контуру L равен 0 ?
Решение: При выполнении условия
(где Р(х, у) = , Q(х, у) = ).
Криволинейный интеграл, взятый по любому замкнутому контуру, будет равен нулю. Поэтому, чтобы ответить на вопрос, вычислим:
, , т.е. .
Так как функции выражение Р(х,у) и Q(x,y) и их частные производные и имеют разрыв при х = 0, следует указать, что заданный интеграл, взятый по любому замкнутому контуру, будет равен нулю, но этот контур не должен проходить через точку с абсциссой х = 0.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 3.16. Вычислить интеграл
.
Указание. Убедится, что . За путь интегрирования выбрать прямую, соединяющие точки (1, 1) и (3, 2). Ее уравнение .
Ответ: .
Задача 3.17. Будет ли криволинейный интеграл
по любому замкнутому контуру, будет равен нулю. Подтвердить полученное заключение непосредственным вычислением, по какому-нибудь замкнутому контуру.
Указание. Проверить, является ли подынтегральное выражение полным дифференциалом, для этого найти и , где Р(х,у)=х3+ху2; Q(х,у)=х2у+у3, так как ,
то можно утвердительно ответить на вопрос задачи.
Выбрать в качестве замкнутого контура, например, окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Параметрические уравнения такой окружности имеют вид:
(0 t 2).
Задача 3.18. Убедившись, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить следующие интегралы:
1)
(вдоль путей, не пересекающих координатных осей и не проходящих через начале координат).
2) ;
(вдоль путей, которые не пересекают биссектрису первого и третьего координатных углов).
Ответ: 1) ; 2) 5,5.