4. Поверхностные интегралы

При изучении физических вопросов часто встречаются функции, заданные на поверхности. Например, функции описывают плотность распределения зарядов на поверхности проводника, освещенность поверхности, и т. д. Изучим интегралы от функций на поверхности, так называемых поверхностных интегралов, и их применение. Теория поверхностных интегралов аналогична теории криволинейных интегралов.

4.1. Поверхностные интегралы первого рода

Определение поверхностного интеграла

от скалярной функции.

Пусть в точках кусочно-гладкой поверхности Σ с кусочно-гладкой границей C определена некоторая ограниченная функция f(M). Разобьем поверхность Σ кусочно-гладкими кривыми на части Σ₁, ..., Σ_n (рис. 4.1). Площадь каждой из них обозначим s _i (i=1,…,n). Пусть в каждой из этих площадей выбрана произвольная точка M_i . Составим сумму

T= s _i. (4.1)

Величина Т будет называться интегральной суммой отвечающей функции f(M) (при данном разбиении поверхности Σ и выборе точек M). Поверхность Σ может быть, в частности, замкнутой.

Определение. Если при стремлении наибольшего из диаметров частей Σ_k, поверхности Σ к нулю интегральные суммы Т стремятся к некоторому конечному пределу, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода от функции f (M) по поверхности Σ и обозначается символом f(M) ds.

Рис.4.1

Точку M поверхности Σ можно задать декартовыми координатами x, у, z Поэтому функцию f (М), определенную на Σ, мы будем обозначать также f(x, у, z), а соответствующий поверхностный интеграл - f(x, у, z) ds. Приведем поверхностный интеграл к двойному интегралу. Рассмотрим сначала простейший случай, когда поверхность задана уравнением в декартовых координатах.

Пусть Σ - гладкая поверхность, заданная уравнением

z = z(x, y), (x, y)є D , где D—замкнутая ограниченная область, a f(x, y, z)-некоторая ограниченная функция, определенная на поверхности Σ. Тогда справедливо равенство

f(x, y, z) ds = f(x, y, z(x ,y)) dxdy . (4.2)

При этом поверхностный интеграл, стоящий слева, существует, если существует двойной интеграл, стоящий в правой части равенства.

Рис. 4.2

Доказательство. Разобьем поверхность Σ кусочно - гладкими кривыми на п частей Σ_i (i=1,…n). Проекции разбиений Σ_i на плоскость х0у обозначим D_i (рис. 4.2). При этом диаметр каждого из элементов D_i, будет не больше,

чем диаметр соответствующего элемента Σ_i, поверхности Σ.

Рассмотрим сумму T= Δs_i .

Площадь Δs_i элемента Σ_i вычисляем по формуле Δs_i = dxdy,

где z= z(x, y), и по теореме о среднем для двойного интеграла от непрерывной функции имеем

Δs_i = S_i,

где (х_i*, у_i^*)- некоторая точка, принадлежащая области D_i, а S _i-площадь этой области. Интегральную сумму T можно записать

так

T= f( x_i ,y_i ,z(x_i ,y_i )) S_i (4.3)

Сравним ее с интегральной суммой вида

T^*= f(x_i, y_i, z(x_i, y_i)) S_i . (4.4)

Выражение T* отвечает двойному интегралу, стоящему в равенстве (4.2) справа при том разбиении области D , которое соответствует данному разбиению поверхности Σ. T , T* отличаются друг от друга только тем, что в сумме (4.4) значения функции f и под квадратным корнем берутся в точке (х_i, у_i) (произвольно выбираемой внутри элемента D _i), а в (4.3) значения под квадратным корнем берутся в точке ( x_i^*, y_i^*), диктуемой нам теоремой о среднем. Эти суммы равны. Предел интегральных сумм Т существует и равен интегралу, стоящему в (4.2) справа.

Следствие. Если поверхность Σ гладкая, а функция

f(x, у, z) непрерывна на ней, то интеграл f(x, у, z) ds существует.

Действительно, в этом случае в равенстве (4.2) справа стоит интеграл от непрерывной функции. Он существует, следовательно, существует и стоящий слева поверхностный интеграл.

Замечание. Пусть поверхность Σ состоит из нескольких частей, каждая из которых может быть представлена уравнением вида x= x(y, z), y= y(z, х) или z= z(x, y). Для сведения поверхностного интеграла, взятого по такой поверхности к двойному интегралу можно, воспользоваться тем, что поверхностный интеграл по поверхности Σ равен сумме интегралов, взятых по составляющим эту поверхность частям. Легко проверить, что эти формулы остаются в силе, когда поверхность не гладкая, а кусочно-гладкая.

Применения поверхностных интегралов механике

Поверхностные интегралы первого рода часто встречаются в физических задачах. С такими интегралами приходится иметь дело при изучении распределения масс по поверхности, например при нахождении координат центра масс, моментов инерции материальных поверхностей. Вывод этих формул ничем не отличается от вывода формул, которые описывают распределение массы в плоской области или вдоль кривой.

Пусть по поверхности Σ (гладкой или кусочно-гладкой) распределена некоторая масса с поверхностной плотностью ρ(х, у, z), представляющей собой непрерывную функцию на Σ. Такую поверхность Σ будем кратко называть материальной поверхностью. Тогда имеют место следующие формулы:

1) Масса μ материальной поверхности Σ равна

μ= ρ(х, у, z)ds.

2) Координаты центра масс материальной поверхности определяются формулами x_c = (1/S) xρ(х, у, z) ds ,

y_c ==(1/S) yρ(x, y, z) ds ,

z_c = (1/S) zρ(x, y, z) ds, S = ρ(x, y,z)ds.

Для однородной поверхности ρ= const .

3) Моменты инерции поверхности Σ относительно осей координат равны

J_z= (x² + y²) ρ(x, y, z) ds, J_y= (x² + z²) ρ(x, y, z) ds,

J_x= (z² + y²) ρ(x, y, z) ds.

Поверхностные интегралы от векторных функций.

Общее понятие поверхностного интеграла первого рода

Выше были рассмотрены поверхностные интегралы от скалярных функций. Это понятие можно перенести на векторные функции. Пусть (M) = P i + Q j + R k - некоторая векторная функция, заданная на поверхности Σ. Определим интеграл от

этой функции по поверхности Σ, положив

(M) ds = i P(M) ds + j Q(M) ds + k R(M) ds.

Мы назовем его поверхностным интегралом первого рода от векторной функции . Значение такого интеграла представляет собой вектор. Вопросы условия существования поверхностного интеграла первого рода от векторной функции, о сведении его к двойному, о его свойствах сводятся к соответствующим вопросам для интегралов от скалярных функций Р, Q и R (компонент вектора ). Для иллюстрации этого понятия вычислим силу, с которой материальная

z

Рис. 4.3

поверхность притягивает материальную точку.

Пусть ρ(х, у, z) - плотность распределения масс на поверхности Σ и т—масса, сосредоточенная в некоторой точке (x₀, y₀, z₀), не лежащей на этой поверхности. Элемент поверхно­сти ds несет на себе элемент массы ρ(х, у,z)ds, а сила d , с которой этот элемент притягивает точечную массу т₀, равна по закону Ньютона

d = γm₀ ρ(x, y, z)( /r³) ds,

где γ постоянная, зависящая от выбора единиц, a —вектор, соединяющий точки (x₀, y₀, z₀) и (х, у, z) (рис. 4.3). Полная сила , с которой вся поверхность Σ притягивает массу т₀, равна сумме элементарных сил d , т. е. поверхностному интегралу = γm₀ ρ(x, y, z)( /r³) ds .

Так как

= (х - x₀)i + (y - y₀)j + (z - z₀)k, то

=γm₀ [i ρ(x,y,z)((x-x₀)/r³)ds+j ρ(x, y, z)((y-y₀)/r³)ds+

+k ρ(x, y, z)((z - z₀)/r³) ds].

Интегралы существуют, если поверхность Σ гладкая или кусочно-глад-кая, а поверхностная плотность ρ(x, у, z) непрерывна на Σ.

В понятии поверхностного интеграла было существенно то, что каждый «интегральный элемент» f (M) ds зависел от величины элемента площади ds и значения функции f(M) (скалярной или векторной) в данной точке. Существуют задачи, в которых ориентация элемента ds играет существенную роль. К ним относится задача о расчете количества жидкости, протекающей через поверхность за единицу времени, а также и ряд других. Эти задачи приводит к другому понятию поверхностного интеграла, так называемому поверхностному инте­гралу второго рода. Поверхностные интегралы первого и второго рода связаны между собой простыми формулами.