4.2. Поверхностные интегралы второго рода

Для того чтобы определить поверхностный интеграл второго рода, нужно ввести понятие стороны поверхности, аналогичное понятию ориентации кривой.

Пусть Σ- гладкая поверхность. Возьмем на Σ некоторую внутреннюю точку М₀, проведем через нее нормаль к поверхности Σ и выберем на этой нормали одно из двух возможных направлений. Это можно сделать, зафиксировав определенный единичный вектор , нормальный к поверхности Σ в точке М₀. Проведем теперь на поверхности Σ через точку М₀ какой-либо замкнутый контур С, не имеющий общих точек с границей поверхности, и будем двигать единичный вектор из точки M₀ вдоль С так, чтобы этот вектор все время оставался нормальным к Σ и чтобы его направление менялось при этом движении непрерывно. Поскольку вектор все время остается нормальным к Σ, то имеются две возможности: при возвращении в точку M₀ вектор возвращается в первоначальное положение; в результате обхода по контуру С вектор меняет свое направление на противоположное.

Гладкая поверхность Σ называется двусторонней, если обход по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности Σ и не имеющему общих точек с ее границей, не меняет направления нормали к поверхности. Если же на поверхности существует замкнутый контур, по которому направление нормали меняется на противоположное (при движении ее по контуру), то поверхность называется односторонней.

Если поверхность Σ двусторонняя, то в каждой ее точке М можно выбрать единичный вектор нормали (М) так, чтобы вектор (М) зависел от точки М непрерывно. Для построения такой вектор – функции (М) возьмем на Σ начальную точку М₀ и выберем в этой точке один из двух возможных единичных, нормальных векторов . После этого возьмем на Σ произвольную точку М, соединим ее с М₀ какой-либо кривой L, лежащей на Σ, и перенесем вдоль L вектор из М₀ в М так, чтобы он оставался нормальным к поверхности и его направление (при таком переносе) менялось непрерывно. Вектор (M), полученный таким образом в точке М, не зависит от выбора кривой L, соединяющей точки М₀ и М. Если бы две разные кривые L₁ и L₂ приводили к разным результатам, то, соединив эти кривые в одну, мы получили бы на Σ замкнутый путь C, при обходе по которому направление нормального вектора меняется на противоположное, то есть эта поверхность не была бы двусторонней. На двусторонней поверхности существуют две такие функции (М), непрерывные на всей поверхности Σ. Такие функции полностью определяются выбором одного из двух возможных направлений нормали в одной точке. Каждая из этих двух функций будет называться «непрерывным полем нормалей » на поверхности Σ. На односторонней поверхности нельзя построить ни одного непрерывного поля нормалей. Выбор на поверхности Σ определенного непрерывного поля нормалей будет называться выбором стороны этой поверхности.

Примеры.

1. Простейший пример двусторонней поверхности - плоскость. Двусторонней поверхностью будет и любая часть плоскости, например круг;

2. Любая гладкая поверхность, определенная уравнением z = f(x, у),—двусторонняя. Действительно, мы получим одну ее сторону (верхнюю), выбрав в каждой ее точке нормальный вектор так, чтобы он составлял с положительным направлением оси z острый угол, а другую (нижнюю) сторону - при противоположной ориентации нормали;

3. Всякая замкнутая поверхность, не имеющая самопересечений, сфера, эллипсоид и т. п., — двусторонняя. Направив в каждой точке замкнутой поверхности нормаль внутрь объема, ограниченного поверхностью, мы получим внутреннюю сторону поверхности. Направив нормаль наружу, получим внешнюю сторону; 4. Простейшим примером односторонней поверхности может служить лист Мёбиуса. Его можно получить, взяв полоску бумаги ABCD и склеив ее так, чтобы точка А совпала с точкой С, а точка В—с точкой D, т. е. повернув перед склеиванием один ее край на 180°. При обходе листа Мёбиуса по его средней линии направление нормали к нему меняется на противоположное. Эта поверхность действительно является односторонней.

Замечания:

1. Двустороннюю поверхность называют ориентируемой, а выбор определенной ее стороны - ориентацией поверхности. Односторонние поверхности называют не ориентируемыми;

2. В отличие от таких свойств, как гладкость поверхности могут иметь или не иметь места в отдельных точках (локальные свойства), свойство ориентируемой поверхности (или не ориентируемой) — это свойство, характеризующее всю поверхность в целом (глобальное свойство). На листе Мёбиуса или любой другой поверхности малая окрестность любой точки ориентируема. В каждой такой окрестности можно построить непрерывное поле нормалей, хотя на всем листе Мёбиуса такое поле построить нельзя.

Пусть Σ—ориентированная поверхность, ограниченная одним или несколькими контурами. Определим ориентацию каждого контура L, входящего в состав границы поверхности Σ, (согласованную с ориентацией поверхности Σ) так: направление обхода контура L считается положительным (согласованным с ориентацией Σ), если наблюдатель, расположен на поверхности так, что направление вектора нормали совпадает с направлением от ног к голове, обходит контур L, оставляя поверхность Σ все время слева от себя (рис. 4.4). Противоположное направление будет отрицательным

Рис. 4.4

Если L — произвольный замкнутый контур ограничивающий какую-либо часть ориентированной поверхности Σ, то направлением обхода этого контура, согласованным с ориентацией поверхности Σ, мы считаем опять-таки то, при котором ограниченная этим контуром часть поверхности Σ ( рис. 4.5) остается слева. Если в качестве поверхности Σ взята ориентированная плоскость, то определение согласованности ориентации контура и поверхности сводится к правилу, по которому контур считается ориентированным положительно, если его обход совершается против часовой стрелки, и ориентированным отрицательно в противоположном случае;

3. Правило согласования ориентации поверхности Σ и ограничивающего ее контура L можно сформулировать таким образом: пусть — единичный вектор нормали к поверхности Σ в некоторой точке М, принадлежащей L, и пусть —вектор, нормальный к L и к и направленный в ту сторону, с которой расположена поверхность Σ. Тогда положительное направление обхода контура L указывается вектором [ , ]

Рис. 4.5 Рис. 4.6

Определение поверхностного интеграла второго рода. Рассмотрим задачу о вычислении потока жидкости через некоторую поверхность.

Пусть пространство заполнено движущейся жидкостью, скорость которой в точке (х, у, z) задается вектором (х, у, z) c компонентами Р = Р(х, у, z),Q = Q(x, у, z), R = R(x, у, z). Вычислим количество жидкости П, протекающей за единицу времени через некоторую ориентированную поверхность Σ.

Рис. 3.7

Рассмотрим бесконечно малый элемент dσ поверхности Σ. Количество жидкости, протекающее через dσ за единицу времени, равно dП = V_n, где V_n— проекция скорости на направление нормали к dσ (рис. 4.7). Записав dП как скалярное произведение вектора V на единичный вектор нормали п к элементу dσ, имеем

dП =[Р cos ( , х)+ Q cos ( , у) + R cos ( , z)] dσ.

Чтобы получить количество жидкости, протекающее через всю поверхность Σ, нужно просуммировать предыдущее выражение по всем элементам dσ, т. е. взять интеграл

П= [Pcos( ,x)+Qcos( ,y)+Rcos( ,z)]dσ. (4.5)

Этот интеграл представляет поверхностный интеграл первого рода. Выражение (4.5) зависит не только от вектор - функции (Р, Q, R), заданной на поверхности Σ, но и от направления нормали в каждой точке этой поверхности.

Перейдем теперь к общему определению. Пусть Σ — гладкая двусторонняя поверхность. Фиксируем какую-либо определенную сторону поверхности ( поле нормалей (М) ) и рассмотрим векторную функцию =(Р, Q, R), заданную на Σ. Обозначим А_n проекцию вектора на направление нормали к Σ в данной точке

А_n = P cos ( , х) + Q cos ( , y)+ R cos ( , z),

где cos( , x), cos( , у) и cos( , z)—косинусы углов между напра­влением нормали к поверхности и направлениями координатных осей, т. е. координаты единичного вектора нормали n. Интеграл

[Pcos( ,x)+Q cos( , y)+ R cos( , z)] dσ (4.6)

называется поверхностным интегралом второго рода от вектор - функции =(P, Q, R) по поверхности Σ (по выбранной стороне поверхности Σ) и будем обозначать

P dydz + Q dzdx + R dxdy=

= Р dydz + Q dzdx+ R dxdy = [P cos( ,x) +

+ Q cos ( ,y) + R cos( ,z)] dσ.

При переходе к другой стороне поверхности координаты единичного вектора нормали, следовательно и сам интеграл, меняют свой знак на противоположный. Для односторонней поверхности понятие поверхностного интеграла второго рода не вводится.Для того чтобы понятие поверхностного интеграла приобрело общность, приходится рассматривать интегралы и по таким поверхностям, которые имеют самопересечения (с аналогичной ситуацией мы уже встречались в теории криволинейных интегралов).

Замечания: 1. Если dσ — бесконечно малый элемент площади поверхности, то выражения cos( , x) dσ, cos( , у) dσ, cos( , z) dσ представляют собой проекции элемента dσ на плоскости y0z, z0x и х0у (рис. 4.8), поэтому мы обозначаем их dydz, dzdx и dxdy соответственно;

Рис.4.7.

z

Рис. 4.8.

2. Поверхностный интеграл второго рода был определен, опираясь на понятие поверхностного интеграла первого рода. Интеграл второго рода можно определить и непосредственно, с помощью соответствующих интегральных сумм следующим образом: для сокращения записи рассматривать только одну компоненту вектора (Р, Q, R), скажем R. Возьмем некоторую гладкую ориентированную поверхность Σ и рассмотрим разбиение этой поверхности на части Σ_i . Взяв в каждой их этих частей произвольную точку (x_i, y_i, z_i), составим интегральную сумму

R(x_i у_i, z_i) S_i , (4.7)

где S_i — проекция Σ на плоскость х0у. Величину S_i будем считать положительной в точках поверхности Σ_i , если в этих точках нормаль к поверхности Σ_i образует с положительным направлением оси z острый угол, и отрицательной, если в каждой точке элемента Σ_i, этот угол тупой.

Для непрерывной функции R(x, у, z) и гладкой поверхности Σ предел интегральных сумм (4.7) при неограниченном измельчении разбиения поверхности существует и равен R(x, у, z) dxdy.

Аналогичным образом можно определить через интегральные суммы и интегралы Р(х, у, z) dydz и

Q(x, у, z) dzdx , а интеграл общего вида равен

Р dydz + Q dzdx + R dxdy – и такого же типа.

3. Отличие поверхностного интеграла второго рода от интеграла первого рода состоит в том, что в интеграле второго рода элемент площади dσ рассматривается не как скалярная величина, а как вектор , направленный по нормали к поверхности и имеющий координаты dσ cos( , x),

dσ cos ( , у), dσ cos ( , z).

В соответствии с этим поверхностный интеграл второго рода от векторной функции = (Р, Q, R) часто записывают в ( , )dσ. (4.8)

Наряду с интегралами вида (4.8) в некоторых задачах приходится рассматривать интегралы вида

[ , ]dσ . (4.9)

Значение такого интеграла представляет собой уже не скаляр, авектор. Его вычисление сводится к покомпонентному интегррованию вектора [ , ]. Так как здесь подынтегральное

выражение зависит от нормали к поверхности Σ, то интеграл (4.9) будет поверхностным интегралом второго рода (но только «векторный», в отличие от «скалярного» интеграла (4.8)).

Сведение поверхностного интеграла второго рода к двойному интегралу

Из определения поверхностного интеграла второго рода и формулы (4.2) вытекает следующий результат. Пусть гладкая (или кусочно-гладкая) поверхность Σ задана уравнением z = z(x, у) (причем берется верхняя сторона этой поверхности) и R (х, у, z)- некоторая ограниченная функция на поверхности Σ . Тогда

R (х, у, z) dxdy = R (х, у, z (х, у)) dxdy, (4.10)

где D - проекция поверхности Σ на плоскость х0у; входящий в это равенство поверхностный интеграл существует, если существует стоящий справа двойной интеграл. Таким образом, для того, чтобы поверхностный интеграл R(x, у,z) dσ, взятый по верхней стороне поверхности Σ ( ее уравнение z=z(x, y)) преобразовать в двойной , следует в подынтегральную функцию вместо z подставить функцию z(x, у), а интегрирование по поверхности Σ заменить интегрированием по ее проекции D на плоскость х0у. Если же интеграл берется по нижней стороне поверхности Σ, то

R(x, у, z) dxdy = - R(x, у, z(x, y))dxdy.Так же получены формулы: P(x, у, z) dydz = ± Р(х(у,z), у, z) dydz ;

Q(x, y, z) dzdx =± Q(x, y(z, x), z) dzdx,

где в первом случае под поверхностью Σ понимается поверхность, заданная уравнением х = х(у, z), а во втором — поверхность, заданная уравнением у = у (z, х). Знак плюс берется в том случае, когда нормаль к поверхности образует с осью х (соответственно с осью у) острый угол, а знак минус, когда этот угол тупой. D₁ и D₂—проекции поверхности Σ на плоскости у0z и z0х соответственно. Формулой типа (4.10) можно воспользоваться для сведения поверхностного интеграла к двойному интегралу и в том случае, когда ориенти­рованная поверхность Σ состоит из нескольких кусков, каждый из которых определяется уравнением вида z = z (х, у). В этом случае рассматриваемый интеграл следует представить как сумму интегра­лов, отвечающих этим кускам, и затем к каждому из этих слагаемых применить формулу (4.10).