1.4. Однократная зонная перекристаллизация

Найдем распределение нелетучей примеси в кристалле, полученном после первого прохода расплавленной зоны вдоль однородно легированного исходного слитка. Пусть длина зоны равна l, поперечное сечение получаемого слитка, расплавленной зоны и слитка, играющего роль подпитывающей фазы, равны S, и объём расплавленной зоны остаётся неизменным в ходе процесса V^Ж = S·l = const. Поскольку примесь нелетуча, не будет происходить изменения её концентрации в паровой фазе dNⁿ = 0. Равновесный коэффициент распределения примеси будем считать постоянным K₀ = const (см.(2)).

Рассмотрим квазистатический режим кристаллизации, при котором примесь успевает однородно распределиться по всему объему расплавленной зоны (рис. 4). В этом случае уравнения материального баланса (4) и баланса объемов (5) примут вид

N^твdV^тв + V^ЖdN^Ж + N^ПОДПdV^ПОДП = 0 (6)

dV^тв + dV^ПОДП = 0 (7)

N^Ж

Рис. 4. Схема процесса квазистатической зонной

перекристаллизации

Проинтегрируем уравнение материального баланса примесного компонента (6) с учетом уравнения баланса объемов (7). Заменив в (6) dV^ПОДП на -dV^тв , получим

dV^тв (N^тв – N^ПОДП) = -V^ЖdN^Ж. (8)

В соответствии с определением (1) для равновесного коэффициента распределением примеси и условием K₀ = const имеем

dN^Ж = dN^тв/K₀ (9)

Изменение объема твердой фазы представим в виде (см. рис. 4)

dV^тв = Sdx, (10)

где dx – элементарное перемещение фронта кристаллизации и всей зоны. Объем жидкой фазы до этапа кристаллизации последних порций расплава при сходе зоны со слитка будет равен

V^Ж = Sl (11)

С учетом (9) – (11) уравнение (8) примет вид

(12)

После интегрирования обеих частей уравнения (12) в пределах, соответствующих изменению координаты x от нулевого до текущего значения, будем иметь

, (13)

откуда находим

. (14)

N^ТВ/N^ПОДП

Рис. 5. Теоретические кривые распределения нелетучей примеси по длине кристалла, полученного однократной зонной перекристаллизацией однородно легированного исходного слитка. Числа у кривых указывают значения равновесного коэффициента распределения.

Установим связь между N^ТВ(0) и N^ПОДП. Поскольку N^ПОДП = const, то после расплавления «первой» зоны, концентрация в ней легирующей примеси будет совпадать с N^ПОДП . Первая бесконечно малая порция твердой перекристаллизованной фазы будет содержать примесные атомы с концентрацией:

N^ТВ(0) = K₀ = K₀N^ПОДП (15)

Это позволяет переписать равенство (14) в виде

(16)

Формула (16) дает теоретическое распределение примеси по длине перекристаллизованного слитка после первого прохода зоны в условиях:

• полного выравнивания состава жидкой фазы;

• отсутствия массового взаимодействия между паровой и конденсированной фазами;

• N^ПОДП = const;

• K₀ = const.

Она не описывает распределение примеси в хвостовой части перекристаллизованного слитка длинной l, где зона «сходит» со слитка и реализуется режим нормальной направленной кристаллизации. Там при K₀ < 1 в твердую фазу выделяется вся примесь, накопившаяся в расплавленной зоне. Формула (16) и рис. (5) показывают, что концентрация примеси заметно меняется лишь в начальной части кристалла. Однако зонная перекристаллизация может быть повторена многократно и тем самым может быть повышена степень очистки.