1.7. Уравнение Бартона– Прима – Слихтера для расчёта

эффективного коэффициента распределения примеси

Эффективный коэффициент распределения примеси К_эф определяют как отношение концентрации примеси в твёрдой фазе у фронта кристаллизации к концентрации примеси в ядре расплава за пределами диффузионного пограничного слоя (см. рис. 7а):

(34)

Рассмотрим как зависит эффективный коэффициент распределения К_ЭФ от равновесного коэффициента распределения примеси К₀ и условий протекания направленной кристаллизации. Найдем распределение примеси в расплаве при совместном действии двух механизмов массопереноса – диффузии и конвекции. Сведения, приведенные в пункте 1.2, позволяют сделать следующие модельные допущения (см. рис. 7а):

1. концентрация примеси в расплаве кроме времени зависит еще только от одной пространственной координаты - расстояния до фронта кристаллизации (т.е. рассматриваем одномерное приближение);

2. за пределами диффузионного пограничного слоя благодаря конвективному перемешиванию происходит полное выравнивание концентрации примеси в расплаве

;

3. в пределах диффузионного пограничного слоя перенос примеси осуществляется только диффузионным путем. Конвективным перемешиванием в пределах диффузионного пограничного слоя пренебрегаем. Далее будем полагать, что коэффициент диффузии примеси в расплаве есть величина постоянная;

4. скорость расплава у фронта кристаллизации не может иметь составляющей, перпендикулярной поверхности растущего кристалла;

5. предположим также, что источники примеси в объеме расплава отсутствуют, и отсутствует массовое взаимодействие расплава с паровой фазой.

Для дальнейшего анализа воспользуемся подвижной системой отсчета К, начало которой постоянно совмещено с плоскостью фронта кристаллизации, а ось OZ ориентирована по нормали к фронту вглубь расплава. Относительно растущего кристалла система К движется равномерно вдоль оси OX со скоростью движения фронта кристаллизации (см. рис. 7, б).

Уравнение переноса примесного компонента

в расплаве в системе К

Воспользуемся уравнением баланса массы примесного компонента, которое в N – шкале концентраций имеет вид

. (35)

С учетом упрощений об одномерности модели и отсутствии объемных источников примеси , уравнение баланса массы примесного компонента в К системе принимает вид

(36)

Вблизи фронта кристаллизации проекция плотности потока примесного компонента на ось OZ системы К определяется равенством

. (37)

Первое слагаемое правой части (37) представляет собой диффузионную составляющую, а второе - конвективную составляющую плотности потока примесного компонента, вычисленную относительно системы К с учетом предположений (3) и (4).

Примем теперь во внимание следующие соображения. Чтобы воспользоваться формулой (34) для определения К_ЭФ, необходимо знать форму концентрационного профиля примесного компонента в расплаве вблизи фронта кристаллизации на текущей момент времени. В самом деле, эффективный коэффициент распределения примеси есть текущая характеристика процесса направленной кристаллизации. В то же время концентрационный профиль в расплаве изменяется очень медленно (производная очень мала во всех точках расплава). Это позволяет ограничиться рассмотрением достаточно короткого этапа процесса кристаллизации и для него вовсе пренебречь изменением формы концентрационного профиля примесного компонента в расплаве с течением времени, т.е. можно принять, что является функцией только пространственной координаты z, и производной по времени в левой части (36) можно пренебречь. Это будет еще одним упрощающим предположением рассматриваемой модели: для достаточно короткого этапа наблюдения. В таком «квазистатическом» приближении уравнение переноса в области диффузионного пограничного слоя, получаемое подстановкой (37) в (36), упрощается и принимает вид

. (38)

Обсуди граничные условия для искомой функции , т.е. условия на границах диффузионного пограничного слоя.

Для левой границы диффузионного пограничного слоя (см. рис.7а) граничное условие должно отражать отсутствие накопления примеси в плоскости фронта кристаллизации. Для этого плотности потоков примесного компонента в твердой и жидкой фазах (их проекция на ось Z), вычисленные относительно подвижной К системы при z = 0, должны быть одинаковыми

. (39)

Знак «-» сохраним во всех членах уравнения для удобства трактовки граничного условия (39) в привязке к рис.7а. Концентрации примеси у фронта кристаллизации связаны соотношением . Поэтому (39) представляет собой граничное условие 3-го рода для искомой функции при z = 0. Однако для последующего рассмотрения в левой части (39) целесообразно сохранить именно .

Второе граничное условие запишем на правой границе диффузионного пограничного слоя при z =  (см. рис. 7а).

. (40)

Решение поставленной краевой задачи для концентрации примесного компонента в пределах диффузионного пограничного слоя имеет вид

(41)

Согласно (41) концентрация примесного компонента в жидкой фазе у фронта кристаллизации определяется выражением

(42)

Поделим обе части (42) на и учтем, что и . Получим

(43)

Выражая отсюда K_ЭФ получим известное уравнение Бартона – Прима – Слихтера

. (44)

Оно показывает, как зависит К_ЭФ

• от равновесного коэффициента распределения К₀;

• от скорости движения фронта кристаллизации ƒ;

• от коэффициента диффузии примеси в расплаве D;

• от толщины диффузионного пограничного слоя .

Согласно уравнению Бартона – Прима – Слихтера гидродинамическая обстановка в расплаве влияет на К_эф через толщину диффузионного пограничного слоя, которая в свою очередь зависит от толщины гидродинамического пограничного слоя. На рис.8 показана зависимость эффективного коэффициента распределения примеси от приведённой скорости роста (fδ/D), рассчитанная по формуле (44). Из уравнения Бартона – Прима – Слихтера следует:

• при ƒ  0, К_ЭФ К₀, т.е. реализуется квазистатический режим кристаллизации;

• при ƒ  , К_ЭФ 1

Отметим, что последнее утверждение справедливо не с самого начала процесса кристаллизации, а с того момента, когда в концентрационном «гребне» накопиться достаточное количество примеси.

Рис. 8. Зависимость эффективного коэффициента распределения примеси от приведенной скорости роста согласно уравнению Бартона – Прима – Слихтера