- •К зачету
- •1. Матрицы. Основные понятия: определение, виды матриц.
- •2. Действия над матрицами.
- •5. Определитель матрицы: определение, свойства определителей.
- •6. Способы вычисления определителей любого порядка.
- •7. Обратная матрица: определение, условие существования.
- •8. Ранг матрицы: определение, способы нахождения.
- •9. Система линейных алгебраических уравнений: определение, виды систем, понятия решения и общего решения системы, совместной и несовместной системы, вырожденной и невырожденной системы.
- •10. Теорема Кронекера-Капелли (о совместности системы уравнений).
- •11. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным способом и по формулам Крамера. «Элементы векторной алгебры»
- •12. Векторы: определение, модуль вектора. Линейные операции над векторами.
- •13. Определения равных, коллинеарных и компланарных векторов.
- •14. Проекция вектора на ось. Орты координатных осей. Координаты вектора.
- •15. Направляющие косинусы вектора.
- •16. Скалярное произведение векторов: определение и приложения.
- •17. Векторное произведение векторов: определение и приложения.
- •18. Смешанное произведение векторов: определение и приложения. «Элементы аналитической геометрии»
- •Определение взаимной ориентации векторов в пространстве
- •Установление компланарности векторов
- •19. Уравнения прямой на плоскости: с угловым коэффициентом и общее уравнение.
- •2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
- •20. Уравнения прямой на плоскости: каноническое и параметрическое.
- •21. Уравнения прямой на плоскости: проходящей через две заданные точки и уравнение в отрезках.
- •22. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.
- •23. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.
- •3) Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки:
- •28. Формула нахождения угла между прямой и плоскостью в пространстве, условия их параллельности и перпендикулярности. (Вопрос такой же как 24)
- •29. Уравнения кривых второго порядка.
- •30. Уравнения поверхностей второго порядка. «Основы математического анализа»
3) Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки:
(см. подробно н стр. 70)
4)Общее уравнение прямой (см. §10.2 стр. 69)
Общее уравнение прямой в пространстве:
28. Формула нахождения угла между прямой и плоскостью в пространстве, условия их параллельности и перпендикулярности. (Вопрос такой же как 24)
Угол между двумя прямыми и условия параллельности и перпендикулярности двух прямых: tg = (см. подробно §10.3 стр. 73)
Допустим, мы имеем 2 (канонических) уравнения прямых, а также их направляющие векторы 1 и 2. Тогда угол между 2 прямыми можно найти по формуле: cos =
Для нахождения острого угла между прямыми L1 и L2 числитель правой части формулы следует взять по модулю.
Если прямые L1 и L2 перпендикулярны, то в этом и только в этом случае имеем cos =0. следовательно, числитель дроби = 0, т.е. =0.
Если прямые L1 и L2 параллельны, то параллельны их направляющие векторы S1 и S2. следовательно, координаты этих векторов пропорциональны: .
29. Уравнения кривых второго порядка.
Общим уравнением второго порядка называется уравнение вида:
Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0
где коэффициенты A,B,C одновременно не равны нулю. Линии, определяемые такими уравнениями, называются кривыми второго порядка. Центром некоторой линии называется такая точка плоскости, по отношению к которой точки этой линии расположены симметрично парами. Линии второго порядка, обладающие единственным центром, называются центральными. Координаты центра S(x0 ; y0) линии определяются из системы:
Эллипс.
Геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости (обычно называемых фокусных) постоянна, называется эллипсом.
Если оси координат расположены так, что Ox проходит через фокусы F1(C,0) и F2(-C,0), а О(0,0) совпадает с серед отрезка F1F2, то по F1М+F2M получаем:
каноническое уравнение эллипса ,
b2=-(с2-a2).
а и b- полуоси эллипса., а-большая, b-меньшая.
Эксцентриситет. , (если а>b)
(если а<b)
Эксцентриситет характеризует выпуклость эллипса.
У эллипса эксцентриситет находится: 0 .
Случай =0 возникает только тогда, когда с=0, а это есть случай окружности – это эллипс с нулевым эксцентриситетом.
Директрисы (D) Геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до точки эллипса к расстоянию от этой точки эллипса до фокуса постоянно и равно величине , называется директрисами. .
Примечание: у окружности нет директрисы.
Гипербола.
Геометрическое место точек, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости постоянна, называется гиперболой.
Каноническое уравнение гиперболы: , где .
Гипербола есть линия второго порядка.
Гипербола имеет 2 асимптоты: и
Гипербола называется равносторонней, если ее полуоси равны. (а=b). Каноническое уравнение:
Эксцентриситет – отношение расстояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы:
Так как для гиперболы с>а , то эксцентриситет гиперболы >1.
Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: . Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен равен .
Директрисы – прямые .
Фокальные радиусы: и .
Есть гиперболы, которые имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.
Парабола – множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
Расстояние от фокуса до директрисы – параметр параболы (p>0) - полуфокальный диаметр.
Парабола есть линия второго порядка.
Каноническое уравнение параболы: y2 = 2px.