- •К зачету
- •1. Матрицы. Основные понятия: определение, виды матриц.
- •2. Действия над матрицами.
- •5. Определитель матрицы: определение, свойства определителей.
- •6. Способы вычисления определителей любого порядка.
- •7. Обратная матрица: определение, условие существования.
- •8. Ранг матрицы: определение, способы нахождения.
- •9. Система линейных алгебраических уравнений: определение, виды систем, понятия решения и общего решения системы, совместной и несовместной системы, вырожденной и невырожденной системы.
- •10. Теорема Кронекера-Капелли (о совместности системы уравнений).
- •11. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным способом и по формулам Крамера. «Элементы векторной алгебры»
- •12. Векторы: определение, модуль вектора. Линейные операции над векторами.
- •13. Определения равных, коллинеарных и компланарных векторов.
- •14. Проекция вектора на ось. Орты координатных осей. Координаты вектора.
- •15. Направляющие косинусы вектора.
- •16. Скалярное произведение векторов: определение и приложения.
- •17. Векторное произведение векторов: определение и приложения.
- •18. Смешанное произведение векторов: определение и приложения. «Элементы аналитической геометрии»
- •Определение взаимной ориентации векторов в пространстве
- •Установление компланарности векторов
- •19. Уравнения прямой на плоскости: с угловым коэффициентом и общее уравнение.
- •2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
- •20. Уравнения прямой на плоскости: каноническое и параметрическое.
- •21. Уравнения прямой на плоскости: проходящей через две заданные точки и уравнение в отрезках.
- •22. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.
- •23. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.
- •3) Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки:
- •28. Формула нахождения угла между прямой и плоскостью в пространстве, условия их параллельности и перпендикулярности. (Вопрос такой же как 24)
- •29. Уравнения кривых второго порядка.
- •30. Уравнения поверхностей второго порядка. «Основы математического анализа»
18. Смешанное произведение векторов: определение и приложения. «Элементы аналитической геометрии»
Рассмотрим произведение векторов , составленное следующим образом: ( Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторно-скалярным, или смешанным, произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число.
Смешанное произведение векторов равно определителю матрицы, составленной из этих векторов.
Приложения смешанного произведения:
Определение взаимной ориентации векторов в пространстве
Определение взаимной ориентации векторов основано на следующих соображениях. Если правая тройка; если – левая тройка.
Установление компланарности векторов
Векторы компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю ( (СМ. консп. По высш мат. 8.4)
19. Уравнения прямой на плоскости: с угловым коэффициентом и общее уравнение.
Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды ее уравнений.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Под углом наклона прямой к оси 0х понимают угол, отсчитываемый в направлении движения, противоположном движению часовой стрелки, от положительного направления оси х до данной прямой.
Тангенс угла наклона прямой к оси 0х называется угловым коэффициентом этой прямой и обозначается k.
1. Если прямая ||оси 0х, то k = 0. Если прямая ⊥ оси 0х, то k не существует (обращается в ∝).
2. Если известен угловой коэффициент k и величина b отрезка, отсекаемого прямой на оси 0у, то как следует из рисунка, для произвольной точки М (х, у) этой прямой tgα . Откуда y = kx+ b =
уравнение прямой с угловым коэффициентом
Рис. См. « Лекции по ВМ соответственно»
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
Пусть: tg =k, , тогда: y = kx + b.
Число tg =k называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение – уравнением прямой с угловым коэффициентом.
2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
Пусть прямая проходит через точку М(Хо,Уо) и ее направление характеризуется угловым коэффициентом к.
Уравнение с различными значениями к называют также уравнением пучка прямых с центром в точке М(Хо,Уо).
Обще уравнение прямой (см. §10.2 стр. 69)
Общее уравнение прямой в пространстве:
20. Уравнения прямой на плоскости: каноническое и параметрическое.
Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды ее уравнений.
1. Канонические уравнения прямой линии в пространстве, или уравнения прямой с направляющими коэффициентами, имеют вид:
.
где x0, y0, z0 - координаты точки, через которую проходит прямая, а m, n и p - направляющие коэффициенты прямой, которые являются проекциями на координатные оси Ox, Oy, Oz направляющего вектора прямой.
2. В параметрическом виде уравнения прямой линии в пространстве записываются так:
(m,n,p) – направляющий вектор прямой (l), который параллелен этой прямой. M0(x0, y0, z0) ∈l.