21. Уравнения прямой на плоскости: проходящей через две заданные точки и уравнение в отрезках.

. уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки:

(см. подробно н стр. 70)

Уравнение прямой в отрезках.

Пусть прямая пересекает ось Ох в точке М1(а,0), а ось Оу – в точке М2(0, b)

(рис. 42), стр. 70

В этом случае уравнение примет вид: (см. подробно на ст. 70)

22. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

- уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору. (См. подробно на стр 71)

23. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

Угол между двумя прямыми и условия параллельности и перпендикулярности двух прямых: tg = (см. подробно §10.3 стр. 73)

Допустим, мы имеем 2 (канонических) уравнения прямых, а также их направляющие векторы ₁ и ₂. Тогда угол между 2 прямыми можно найти по формуле: cos =

Для нахождения острого угла между прямыми L₁ и L₂ числитель правой части формулы следует взять по модулю.

Если прямые L₁ и L₂ перпендикулярны, то в этом и только в этом случае имеем cos =0. следовательно, числитель дроби = 0, т.е. =0.

Если прямые L₁ и L₂ параллельны, то параллельны их направляющие векторы S₁ и S₂. следовательно, координаты этих векторов пропорциональны: .

24. Формулы для нахождения угла между прямыми на плоскости и в пространстве

Допустим, мы имеем 2 (канонических) уравнения прямых, а также их направляющие векторы ₁ и ₂. Тогда угол между 2 прямыми можно найти по формуле: cos =

Условие //-ти: ₁ // ₂ ⇒ = =

Условие ⊥-ти: (Вопросы 23 и 24 похожи)

25. Формула для нахождения расстояния от точки до прямой на плоскости.

См. § 10.3 Стр. 73, 74

Формула : (10.13)

Расстояние от точки до прямой в пространстве

У нас есть уравнение прямой = = , её направляющий вектор (m,n,p) и точка не принадлежащая этой прямой M(x₁,y₁,z₁). Расстояние от точки до прямой определяется по формуле:

26. Плоскость в пространстве: общее уравнение и уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве можно задавать различными способами. Каждому из них соответствует определенный вид ее уравнения.

1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору:

Точка Мо(Хо, Уо), вектор

2. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:

(подробно см. с. 94, 95)

Общее уравнение плоскости: Ax+By+Cz+D=0 (см. подробно на стр. 93, 94)

27. Уравнения прямой в пространстве: каноническое, параметрическое, проходящей через две данные точки, общее уравнение.

Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды ее уравнений.

1). Канонические уравнения прямой линии в пространстве, или уравнения прямой с направляющими коэффициентами, имеют вид:

.

где x0, y0, z0 - координаты точки, через которую проходит прямая, а m, n и p - направляющие коэффициенты прямой, которые являются проекциями на координатные оси Ox, Oy, Oz направляющего вектора прямой.

2). В параметрическом виде уравнения прямой линии в пространстве записываются так:

(m,n,p) – направляющий вектор прямой (l), который параллелен этой прямой. M₀(x₀, y₀, z₀) ∈l.