6. Способы вычисления определителей любого порядка.

А) Определитель второго порядка вычисляется способом «крест накрест».

2 -3

5 6 2•6 - (-3) ·5=12 – (15)=27

Б) При вычислении определителя третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников (или Саррюса), которое символически можно записать так:

Пример: Вычислить определитель матрицы:

5 -2 1

А = 3 1 - 4

6 0 - 3

Решение: det А = 5•1•( - 3)+( - 2) •(-4) •6 +3•0 •1 - 6•1•1 – 3 •(-2) •(-3) – 0 • (-4) •5 =

=-15+48-6-18 = 48 – 39 = 9

7. Обратная матрица: определение, условие существования.

Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель

не равен нулю. В противном случае матрица А называется вырожденной.

Матрицей, союзной к матрице А, называется матрица

Где А_{i j} – алгебраическое дополнение элемента α_{i j} данной матрицы А (оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя).

Теорема: всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Матрица А^-1 называется обратной матрице А, если выполняется условие:

А·А^-1 = А^-1 ·А = Е,

Где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Матрица А^-1 имеет те же размеры, что и матрица А.

Пусть есть матрица А – невырожденная.

А^-1, A^-1*A=A*A^-1=E, где E –единичная матрица. A^-1 имеет те же размеры, что и A.

Алгоритм нахождения обратной матрицы:

1. вместо каждого элемента матрицы а_ij записываем его алгебраическое дополнение.

а_ij А_ij

А* - союзная матрица.

2. транспонируем полученную союзную матрицу. А^*Т

3. делим каждый элемент союзной матрицы на определитель матрицы А.

, A^-1 = A^*Т

Теорема: (об аннулировании определителя): сумма произведений элементов некоторого ряда определителя на алгебраическое дополнение к элементам другого параллельного ряда всегда равна нулю.

8. Ранг матрицы: определение, способы нахождения.

Для раскрытия понятия «ранг матрицы» сначала надо узнать, что такое минор и алгебраическое дополнение.

Минором некоторого элемента α_ij определителя n-го порядка называется определитель n – 1-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается m_{ij .}

Так, если

а₁₁ а₁₂ а₁₃ а₂₂ а₂₃ а₁₁ а₁₃

а₂₁ а₂₂ а_{23 ,}то m_{ij =} а₃₂ а_{33 ,} m₃₂ = а₂₁ а₂₃

а₃₁ а₃₂ а₃₃

Алгебраическим дополнением элемента а_ij определителя называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма i+j –четное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная.

Максимальное число линейно-зависимых строк матрицы A наз. рангом матрицы и обознач. r(А) или rang А Наибольшее из порядков миноров данной матрицы отличных от 0 наз. рангом матрицы.

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным.

Способы нахождения ранга матрицы:

1. метод окаймляющих миноров

2. метод элементарных преобразований

Метод окаймляющих миноров:

метод окаймляющих миноров позволяет алгоритмизировать процесс нахождения ранга матрицы и позволяет свести к минимуму количество вычисления миноров.

1. если в матрице все нулевые элементы, то ранг = 0

2. если есть хоть один ненулевой элемент => r(a)>0