13. Определения равных, коллинеарных и компланарных векторов.

Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записываются: || .

Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Два вектора называются равными если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины. Равные векторы называются также свободными.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны.

14. Проекция вектора на ось. Орты координатных осей. Координаты вектора.

Проекция вектора на ось – это вектор, началом и концом которого являются соответственно проекции начала и конца заданного вектора.

Под осью понимается прямая, для которой указано направление. Таким образом, проекция вектора на ось и проекция вектора на направленную прямую – это одно и то же. Проекцию вектора на ось L обозначают как

Проекцию вектора на ось можно рассматривать в двух смыслах: геометрическом и алгебраическом. В геометрическом смысле проекция вектора на ось есть вектор, а в алгебраическом – число. Часто это разграничение явно не указывается, а понимается из контекста.

Система ортов (или базисная система векторов) - это система единичных векторов осей координат

Проекции вектора на ось

образованный с помощью осей Ox, Oy, Oz, образует углы α, β, γ.

Доработат

15. Направляющие косинусы вектора.

Направляющие косинусы вектора

a_x = Пр_Ox = cosα; a_y = Пр_Oy = cosβ; a_z = Пр_Oz = cosγ; cosα=

(Пр – это слово проекция)

Расшифровка формул: 1. Проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью, т.е. пр _{= •}

и т.д.

16. Скалярное произведение векторов: определение и приложения.

Скалярным произведением двух нулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

1. Обозначается αb, • (или , ). • =| | •| | • cos , где = ).

Свойства скалярного произведения векторов:

А) ( ) = ( ); (переместительное свойство)

Б) ( = ( (сочетательное свойство)

В) ( + (распределительное свойство)

Для доказательства какого-либо из свойств достаточно, например, найти числа в левой и правой частях соответствующих выражений и убедиться, что они равны.

17. Векторное произведение векторов: определение и приложения.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор который:

1. Перпендикулярен векторам и и

2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т.е.

| | = | | • | | sin где =( α ̅,b ̅ )

Векторное произведение обозначается или

Свойства векторного произведения:

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак,

т. е. = - (

2. Векторы и коллениарны (параллельны), имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки и , (противоположной ориентации). Значит, = - (

3. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т.е. = ( )