9. Система линейных алгебраических уравнений: определение, виды систем, понятия решения и общего решения системы, совместной и несовместной системы, вырожденной и невырожденной системы.

Системой линейных алгебраических уравнений ( СЛАУ), содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида:

а₁₁х₁ + а₁₂ х₂ + ….+ а_1n х_n = b_1,

а₂₁ х₁ +а₂₂ х₂₂ +…+а_2nх_n = b₂,

……………………………..,

а_m1х₁ +а_m2х₂ +….+а_mnх_n = b_m,

где числа а_ij, i=1, m, j=1, n называются коэффициентами системы, числа b_i – свободными членами. Подлежат нахождению числа х_n.

Такую систему удобно записывать в компактной матрической форме

А ·Х = В

Здесь А = матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей.

Х – матрица неизвестных х_j (вектор-столбец)

В – матрица свободных членов (вектор-столбец)

Виды систем:

а) Расширенной матрицей системы называется матрица А системы, дополненная столбцом свободных членов.

б) Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

в) Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В этом случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

10. Теорема Кронекера-Капелли (о совместности системы уравнений).

Пусть дана произвольная система m линейных уравнений с n неизвестными

а₁₁х₁ + а₁₂ х₂ + ….+ а_1n х_n = b_1,

а₂₁ х₁ +а₂₂ х₂₂ +…+а_2nх_n = b₂,

……………………………..,

а_m1х₁ +а_m2х₂ +….+а_mnх_n = b_m,

Ответ на вопрос о совместимости этой системы дает теорема Кронекера-Капелли.

Теорема1. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

Теорема 2. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема 3. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

11. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным способом и по формулам Крамера. «Элементы векторной алгебры»

Найти на ютубе видео «Решение системы трех уравнений по формулам Крамера» Валерий Волков. Хорошее и понятное объяснение.

12. Векторы: определение, модуль вектора. Линейные операции над векторами.

Вектор – это направленный прямолинейный отрезок, т.е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если А – начало вектора, а В – его конец, то вектор обозначается символом или . Вектор называется противоположным вектору Вектор, противоположный вектору обозначается - .

Длиной, или модулем вектора называется длина отрезка и обозначается

| . Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором

и обозначается . Нулевой вектор направления не имеет.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором

и обозначается через .

Линейные операции над векторами – это сложение и вычитание векторов и умножение вектора на число.