Решение задачи 1в

в) lim

etg2 x −1

=

0

.

0

x→0 ln cos 3x

ln cos 3x = ln(1 + (cos 3x −1))

~

cos 3x −1.

x→0

Заменив б. м. на эквивалентные, получим

etg2 x

−1

0

= lim

tg2 x

=

0

lim

=

.

x→0 ln cos 3x

0

x

→0 cos 3x −1

0

Поскольку неопределенность еще не раскрыта, снова

воспользуемся таблицей эквивалентных б. м.:

tg2 x

~

x2 ,

x→0

cos 3x −1 = −(1 − cos 3x)

~

−

(3x)2

= −

9

x2 .

2

2

x→0

Таким образом,

etg 2 x −1

0

= lim

tg2 x

=

0

= −

2

x2

= −

2

lim

=

lim

.

x

2

9

x→0 ln cos 3x

0

x

→0 cos 3x

−1

0

9 x

→0

г)

lim

sin π x

=

0 .

x→1

2 + x + x2 − 2

0

Чтобы воспользоваться таблицей эквивалентных б. м.

функций, сделаем замену переменной. Обозначим

x −1 = t .

Тогда

при

x →1

t

является б.

м.

Переходя

к

пределу

при

t → 0 , получим

lim

sin π x

0

= lim

sin π(1 + t)

=

2

+ x + x2 − 2

=

0

2 +1 + t + (1 + t)2

x→1

t

→0

− 2

= lim

sin(π +πt)

= −lim

sinπt

=

0 .

t→0

4 + 3t + t2 − 2

t→0

4 + 3t + t2

− 2

0

Теперь в числителе и знаменателе перейдем к

эквивалентным б. м.:

sinπt ~

πt ,

t →0

4 + 3t + t2

− 2 =

1 +

3t

+ t

2

−

=

2

1

4

4

1

3t

t2

2

1

3t

t2

3t

t2

=

2

1

+

+

−1

~ 2

+

=

+

.

4

4

2

4

4

4

t →0

4

Поскольку сумма б. м. функций разного порядка эквивалентна

б.

м.

меньшего

порядка,

получим

3t

+

t2

~

3t

.

4

4

4

t →0

Следовательно,

4 + 3t + t2

~

3t

+ t2

~

3t .

t →0

4

4 t →0

4

Таким образом,

lim

sinπ x

=

2 + x

+ x2

− 2

x→1

= −lim

4

sin πt

− 2

=

0

= −lim

4πt

= −

4π .

t →0

+ 3t + t2

0

t →0

3t

3

Решение задачи 1д

д) lim

x

2

+ x + 5 −

x

2

[∞ − ∞].

− 3x =

x→±∞

x

2

+ x +

5 +

x

2

домножим и разделим его на

−3x :

lim

2

+ x +5 −

x

2

[∞ − ∞]=

x

−3x =

x→±∞

2

+ x +

5 −

x

2

−

x

2

+ x + 5 +

x

2

x

3x

− 3x

= lim

=

x→±∞

x2 + x + 5 + x2 − 3x

=

lim

x2 + x

+ 5 − (x2

− 3x)

=

x2 + x + 5 + x2 − 3x

x→±∞

=

lim

4x + 5

=

∞

.

x→±∞ x2 + x + 5 + x2 − 3x

∞

lim

4x

+5

∞

=

+ x2 −3x

=

x→±∞ x2 + x + 5

∞

4

+

5

x

x

4x

= lim

=

lim

,

1

5

3

x→±∞

x→±∞ 2 x

1 +

+

2

+

1 −

x

x

x

x

поскольку

5

→ 0 ,

1

→ 0 ,

5

→ 0 ,

3

→ 0 .

x2

x x→±∞

x x→±∞

x→±∞

x x→±∞

Таким образом,

lim

x

2

+ x +5

−

x

2

−3x

lim

2x

=

2, x → +∞

.

=

x

→ −∞

x→±∞

x→±∞

− 2, x

Решение задачи 1е

2x3 − 3x − 2

∞

е) lim

=

.

3

− 2x

2

− 3x

+8

∞

x→∞ x

∞

вынесем в числителе

Для раскрытия неопределенности

∞

и знаменателе за скобки старшие степени x :

x

3

−

3

−

2

2x3 − 3x − 2

2

∞

x

2

x

3

lim

=

=

lim

=

3

−

2x

2

− 3x +8

3

2

3

8

x→∞ x

∞

x→∞

x

1 −

−

+

x

x

2

x3

= lim

2x3

= 2 ,

x

→∞ x3

поскольку

2

→ 0 ,

2

→ 0 ,

3

→ 0 ,

8

→ 0 .

x3

x2

x x→ ∞

x→ ∞

x→ ∞

x3 x→∞