Определение 5
Функция y = f (x) называется непрерывной на замкнутом интервале [a; b], если она непрерывна в каждой точке интервала
(а; b), и непрерывна справа в точке а и слева в точке b .
Теорема
Все основные элементарные функции непрерывны в области их определения.
Свойства непрерывных функций
1) Если функции f (x) и g(x) непрерывны в точке x0 , то непрерывны в этой же точке их сумма f (x)+ g(x), произведение
f(x) g(x) и частное gf ((xx)) (при g(x0 )≠ 0 ).
2)Если функция u = g(x) непрерывна в точке x0 , а функция
y = |
f (u) непрерывна в точке u0 = g(x0 ), то сложная функция |
y = |
f (g(x)) непрерывна в точке x0 . |
Следствие
Элементарные функции, полученные из основных элементарных функций с помощью рассмотренных выше операций, также непрерывны в области их определения.
Классификация точек разрыва
Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если x = x0 - точка
разрыва функции y = f (x), то в ней нарушается хотя бы одно из условий непрерывности функции.
Определение 6
Точка разрыва x0 называется точкой разрыва первого рода
функции y = f (x), если в этой точке существуют конечные односторонние пределы, т. е.
24