lim |
f (x)= f (x0 −0) и |
lim |
f (x)= f (x0 +0). |
x→x0 −0 |
x→x0 +0 |
||
При этом:
1)Если они равны между собой, но не равны значению функции в этой точке )= f (x0 +0)≠ f (x0 ), или значениеf (x0 −0
функции f (x) |
при x = x0 |
|
не |
определено, |
то |
точка |
x0 |
|||||||||||
называется точкой устранимого разрыва первого рода. |
|
|||||||||||||||||
2) Если |
f (x0 −0) |
≠ f (x0 +0), |
то точка |
x0 |
называется точкой |
|||||||||||||
неустранимого |
|
|
разрыва |
|
первого |
|
рода. |
|
Величина |
|||||||||
δ = |
|
f (x0 + 0)− f (x0 −0) |
|
|
называется |
скачком |
функции |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
f (x) |
в точке x0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определение 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Точка разрыва |
x0 |
называется точкой разрыва второго рода |
||||||||||||||||
функции |
y = f (x), |
|
если |
в этой |
точке хотя |
бы |
один |
из |
||||||||||
односторонних |
пределов |
lim |
f (x) |
или |
lim |
f (x) |
не |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
−0 |
|
|
x→x0 +0 |
|
|||||
существует или бесконечен. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Решение задачи 5 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 − 2x, x <1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а) f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(x)= 3x −6, 1 < x ≤ 3 Каждая составляющая функции |
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
x > 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f1(x) является элементарной и, следовательно, непрерывной
функцией. Поэтому |
разрывы |
возможны лишь в точках |
«соединения» этих составляющих. |
|
|
x =1: Значение f1(1) |
не определено. |
|
lim f1(x)= lim |
(− x2 − 2x)= −3 , |
|
x→1−0 |
x→1−0 |
|
25
|
|
|
|
lim f1(x)= |
lim (3x −6)= −3 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x→1+0 |
|
|
x→1+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Следовательно, |
точка |
x =1 |
- |
точка устранимого разрыва |
||||||||||||||
первого рода. |
f1(3)= 3 3 − 6 = 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x = 3 : |
Значение |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim |
f1(x)= lim (3x − 6)= 3 , |
lim |
f1(x)= lim |
|
|
1 |
|
= +∞. |
||||||||||
|
|
− 3 |
||||||||||||||||
x→3−0 |
|
x→3−0 |
|
|
|
|
x→3+0 |
x→3+0 x |
|
|||||||||
Следовательно, |
точка |
x = 3 |
является точкой |
разрыва |
||||||||||||||
второго рода. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
График функции y = f1(x) изображен на рис. 10. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
3 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 10. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Разрыв |
в точке x =1 |
можно |
устранить, |
доопределив |
||||||||||||||
f1(1)=1 в этой точке: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x2 − 2x, x ≤1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
f1(x)= 3x − 6, 1 < x ≤ 3 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x > |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
x − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) |
f2 (x)= |
|
1 |
|
Областью |
|
определения функции |
f2 (x) |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
1 x − 2 |
|
|
|
|
|
|
x = 0 и |
x =1 , |
|||||||
является вся числовая ось за исключением точек |
||||||||||||||||||
в которых |
знаменатели |
обращаются |
в ноль. |
В |
|
этих |
точках |
|||||||||||
26
функция может иметь разрывы. Вычислим односторонние пределы и установим тип разрывов.
x = 0 :
Значение f2 (1) не определено. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim f2 (x)= |
lim |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
= − 12 |
|
||
1 |
x |
− 2 |
= |
2 |
−∞ |
− |
|
, |
|||||||||
x→−0 |
x→−0 2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
lim f2 (x) |
= lim |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
+∞ |
|
|
|
||||||||
x→+0 |
x→+0 |
2 |
x − 2 |
|
|
|
− 2 |
|
|
||||||||
Таким образом, точка x = 0 - точка неустранимого разрыва первого рода. Скачок функции в этой точке равен
δ= − 12 − 0 = − 12 .
x=1:
Значение f2 (1) не определено.
lim |
f2 (x)= lim |
|
1 |
= |
lim |
|
|
|
|
1 |
|
|
= +∞ , |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
||||||||
x→1−0 |
x→1−0 |
x − 2 |
|
|
x→1−0 |
−1 |
|
|
||||||
2 |
|
|
2 |
2 x |
−1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f2 (x)= lim |
|
1 |
|
= |
lim |
|
|
|
|
1 |
|
|
= −∞. |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
x→1+0 |
x→1+0 |
x − 2 |
|
|
x→1+0 |
−1 |
|
|
||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
−1 |
|
|
||||||
|
|
2 x |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, точка x =1 является точкой разрыва второго рода.
Для построения графика полезно найти предел
f2 (± ∞) lim |
f2 (x)= lim |
|
1 |
= −1 . |
|
|
|||
x→±∞ |
x→±∞ 2 |
1 x − 2 |
||
График функции y = f2 (x) см. на рис. 11.
27
y
0 |
1 |
x |
− 12
−1
Рис. 11.
Задача 6 |
|
|
|||
|
x |
|
2 |
||
Построить графики функций |
y = |
|
|
. |
|
|
|||||
|
x −1 |
|
|
||
Справочный материал
Для построения графика функции требуется провести полное исследование данной функции по следующему плану.
1. Область определения D(f ) функции (О.О.Ф.), точки
разрыва функции и вертикальные асимптоты.
Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика
функции |
|
f (x), если lim f (x)= ∞ или |
lim f (x)= ∞ или |
|
|
x→a |
x→a −0 |
lim |
f (x)= ∞. |
|
|
x→a |
+0 |
|
|
28
2. Четность функции, периодичность функции. Функция f (x) называется четной (нечетной) если
f (− x)= f (x) ( f (− x)= − f (x)) x D(f ).
В противном случае функция называется функцией общего вида.
О.О.Ф. для четной (нечетной) функции симметрична относительно начала координат.
Функция f (x) называется периодической если найдется такое число T ≠ 0 , что f (x +T )= f (x) для x D(f ).
3. Корни и промежутки знакопостоянства.
4. Исследование с помощью первой производной ( монотонность функции, экстремумы).
5. Исследование с помощью второй производной (выпуклость функции, точки перегиба).
Функция f (x) называется выпуклой вниз (выпуклой вверх) на промежутке (a,b), если ее график лежит выше (ниже) своей
касательной, проведенной в любой точке с абсциссой x0 (a, b). |
|||||
Если |
функция |
f (x) |
дважды |
дифференцируема на |
|
промежутке (a,b), |
и вторая производная f ''(x)> 0 ( |
′′ |
|||
f (x)< 0 ) |
|||||
для всех |
значений |
x (a,b), |
то f (x) |
выпукла вниз |
(выпукла |
вверх) на промежутке (a,b).
Точки, в которых меняется характер выпуклости функции, называются точками перегиба.
6. Наклонные (горизонтальные) асимптоты.
Прямая y = k x + b является наклонной асимптотой графика функции y = f (x), если существуют конечные пределы.
k = lim |
f (x) |
, b = lim (f (x)−kx). |
||
x |
|
|||
x→∞ |
x→∞ |
|||
Частный случай наклонной асимптоты – горизонтальная асимптота, в том случае если k = 0 .
Необходимо помнить, что пределы на ± ∞ могут быть различными.
29