- •РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
- •ПО ТЕМЕ 4
- •Образец типового расчета
- •Решение типового варианта
- •Справочный материал
- •Правила дифференцирования
- •Задачи 1 ÷ 9.
- •Решение задачи
- •Решение задачи
- •Решение задачи
- •Решение задачи
- •Решение задачи
- •Решение задачи
- •Решение задачи
- •Задача 10
- •Справочный материал
- •Решение задачи 10
- •Задача 11
- •Справочный материал
- •Решение задачи 11
- •Задача 12
- •Справочный материал
- •Задача 13
- •Справочный материал
- •Задача 14
- •Справочный материал
- •Задача 15
- •Справочный материал
- •Вариант № 1
- •Вариант № 2
- •Вариант № 3
- •Вариант № 4
- •Вариант № 5
- •Вариант № 6
- •Вариант № 7
- •Вариант № 8
- •Вариант № 9
- •Вариант № 10
- •Вариант № 11
- •Вариант № 12
- •Вариант № 13
- •Вариант № 14
- •Вариант № 15
- •Вариант № 16
- •Вариант № 17
- •Вариант № 18
- •Вариант № 19
- •Вариант № 20
- •Вариант № 21
- •Вариант № 22
- •Вариант № 23
- •Вариант № 24
- •Вариант № 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
Вариант № 1
Найти производные функций ( задания 1÷9 ).
1.y =
2.y =
3.y =
4.y =
5.y =
6.y =
7.y =
8.y =
|
2(3x3 +4x2 − x −2) |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
15 |
1+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ex |
[( x |
2 |
−1)cos x +(x − |
1) |
2 |
sin x] . |
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x ln ( x + x + a ) − x + a . |
|
|
||||||||||||
(2x2 +6x +5) arctg |
|
x +1 |
− x . |
|
|
|||||||||||
|
x +2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
12x −9x |
2 |
|
+ln |
1 + |
12 − |
9x2 |
. |
|||
|
3x −2 |
|
|
|
|
|
3x −2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x arcsin x + ln 1 − x2 . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
cos x |
|
+3 |
cos x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
sin4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a 2 − x2 + a 2 arcsin 2x − 5 .
1ln arctg x
9.y = (arctg x)2
10. Вычислить приближенно значение y = |
1 |
в точке x =1,58 . |
|
2x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3t +1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
d |
2 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
3t |
3 |
|
|
|
||||
11. |
Найти |
и |
|
для параметрической функции |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||
dx |
dx |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
= sin |
|
|
|
+t |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x), |
|
|
|
|
|
|
|||||
12. |
Найти |
y′ |
|
и |
|
y′′ |
для |
функции |
заданной |
|
|
неявно: |
|||||||||||
|
x2 sin y + y3 cos x −2x −3y +1 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
13. |
Найти |
наибольшее и |
наименьшее значения |
y = x2 + |
16 |
−16 при |
|||||||||||||||||
|
x |
||||||||||||||||||||||
|
x [1,4] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
14. |
Исследовать |
|
|
|
|
характер |
|
|
поведения |
|
|
|
|
|
|
|
функции |
||||||
|
y = x4 + 4x3 +12x2 + 24 ( x +1 −ex ) в точке xo |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
15. |
Построить графики функций |
y = |
x2 |
|
, y = |
17 − x2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x −2 |
4x −5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25
Вариант № 2
Найти производные функций ( задания 1÷9 ).
1.y = 3 x2 + x +1 .
x+1
2.y = e2 x (2 −sin 2x −cos 2x)8 .3
3. |
y = ln(ex + |
1 +ex ) . |
|
|
||||
4. |
y = arcsin |
x −2 . |
|
|
|
|||
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
5. |
y = |
4x +1 |
3 |
+ |
1 |
arctg |
4x +1 . |
|
|
|
16x2 +8x + |
|
2 |
|
2 |
6.y = 1 −x x2 +arcsin x .
7.y = x cos a + sin a ln sin( x − a) .
8.y = cos x lntg x −lntg 2x .
9. |
y = (tg x)ln tg |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
10. |
Вычислить приближенно значение y = 3 |
x3 +7x |
в точке x =1,012 . |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t +1 |
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
d 2 y |
|
|
|
|
|
|
|
x |
= arctg |
|
|
|
|
|
||||
11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t −1 |
|
|
|
|||||||||
Найти |
|
|
и |
|
|
для параметрической функции |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= arcsin (1 − t |
2 |
) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x), |
y |
|
|
||||||||
12. |
Найти |
|
y′ |
и y′′ для |
функции |
заданной |
неявно: |
||||||||||||||||||
|
e y + xy = e 2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
13. |
Найти |
|
|
наибольшее |
и |
наименьшее |
|
значения |
функции |
||||||||||||||||
|
y = 3 |
2( x + 2 ) 2 (1 − x ) |
при x [−3,4] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
14. |
Исследовать |
|
|
характер |
|
|
поведения |
|
|
|
|
функции |
|||||||||||||
|
y = 4 x − x 2 − 2 cos( x − 2) |
в точке xo = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
15. |
Построить графики функций |
y = |
x2 |
−2x + 2 |
, y = x |
2 |
+ |
4 |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
x +3 |
|
x + 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26
Вариант № 3
Найти производные функций ( задания 1÷9 ).
1.y = x4 −8x2 .
2( x2 −4)
2.y = ln 1+ex +e2 x −ex −1 .
1+ex +e2 x −ex +1
3.y = 2 x −4 ln (2 + x ) .
4.y = x + 13 arctg x − 83 arctg 2x .
5.y = arcsin e−4 x + ln(e4 x + e8 x −1) .
6.y = x x2 +1 +3ln(x + x2 +1) .
7.y = 1 + (ln1 2)2 (2 x (sin x + cos x)).
8.y = x arctg x −ln 1 + x2 .
9.y = (sin x)5ex .
10. |
Вычислить |
|
приближенно значение |
y = 3 3 x + cos |
x |
в |
|
|
точке |
|||||
|
x = 0,01 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dy |
|
d |
2 |
y |
|
|
= |
2t −t |
2 |
|
||
11. |
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||
Найти |
|
|
и |
|
|
|
для параметрической функции |
|
|
|
|
. |
||
dx |
dx2 |
|
|
− |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
= |
(t −1) |
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
12. |
Найти |
y′ и y′′ |
для |
функции |
y(x), |
заданной |
неявно: |
||
|
sin(y − x2 )−ln(y − x2 )+ 2 y − x2 −3 = 0 . |
|
|
|
|
||||
13. |
Найти |
наибольшее |
и |
наименьшее |
значения |
функции |
|||
|
y = 3 2(x −2)2 (8 − x)−1 при x [0,6] . |
|
|
|
|
||||
14. |
Исследовать |
характер |
поведения |
функции |
|||||
|
y = (x −1)sin(x −1)+ 2x − x2 |
в точке xo |
=1 . |
|
|
|
|||
15. |
Построить графики функций |
y = |
x3 −4x |
, y = |
|
2 |
. |
||
|
(3 − x)2 (5 − x2 ) |
||||||||
3x2 −4 |
27
Вариант № 4
Найти производные функций ( задания 1÷9 ).
1. y = 2x2 − x −1 .
3 2 + 4x
2. |
y = 3e |
3 |
x 3 |
x |
2 |
− |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
x + 2 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
y = ln |
|
x2 |
|
|
. |
|
|
|
1 −ax4
4.y = 1 − x2 − x arcsin 1 − x2 .
5. |
y = |
|
2x −1 |
|
+ |
1 |
|
arctg 2x −1 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
4x2 −4x + 3 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
6. |
y = x3 arcsin x + x2 + 2 |
|
1 − x2 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
y = x −ln (1 + ex ) − |
2e |
− |
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 arctg e2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
y = x ln x −( x +1) |
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9. |
y =(arcsin x)ex . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
10. Вычислить |
|
приближенно |
значение |
y = 1 + x +sin x |
в |
|
точке |
||||||||||||||||
|
x = 0,01. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
dy |
|
d 2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = arcsin(sin t) |
|||||||
11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найти |
|
|
и |
|
|
|
|
для параметрической функции |
|
|
|
1 . |
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = arccos |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
−1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
12. Найти |
y′ |
и |
|
|
|
|
y′′ |
|
|
для |
|
функции |
y(x), заданной |
|
неявно: |
ex + ey −2xy −1 = 0 .
13. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y
= 2(x2 +3)
x2 −2x +5
при x [−3,3] .
14.Исследовать характер поведения функции y = x2 −2x −( x −1) ln x в точке xo =1 .
15. |
Построить графики функций y = |
4x2 |
+9 |
, y = |
|
|
x2 |
. |
|
4x |
+8 |
1 |
− x2 |
||||||
|
|
|
|
28