- •РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
- •ПО ТЕМЕ 4
- •Образец типового расчета
- •Решение типового варианта
- •Справочный материал
- •Правила дифференцирования
- •Задачи 1 ÷ 9.
- •Решение задачи
- •Решение задачи
- •Решение задачи
- •Решение задачи
- •Решение задачи
- •Решение задачи
- •Решение задачи
- •Задача 10
- •Справочный материал
- •Решение задачи 10
- •Задача 11
- •Справочный материал
- •Решение задачи 11
- •Задача 12
- •Справочный материал
- •Задача 13
- •Справочный материал
- •Задача 14
- •Справочный материал
- •Задача 15
- •Справочный материал
- •Вариант № 1
- •Вариант № 2
- •Вариант № 3
- •Вариант № 4
- •Вариант № 5
- •Вариант № 6
- •Вариант № 7
- •Вариант № 8
- •Вариант № 9
- •Вариант № 10
- •Вариант № 11
- •Вариант № 12
- •Вариант № 13
- •Вариант № 14
- •Вариант № 15
- •Вариант № 16
- •Вариант № 17
- •Вариант № 18
- •Вариант № 19
- •Вариант № 20
- •Вариант № 21
- •Вариант № 22
- •Вариант № 23
- •Вариант № 24
- •Вариант № 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
|
|
4x(1 −2x3 )−(x2 −2)6x2 |
(x3 − x)− |
(x2 |
−2) 1 −2x3 (3x2 |
−1) |
|
|
|
2 1 −2x3 |
|||||
y′ = |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
(x3 − x)2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Найти производную функции |
y = tg e x (x5 +1). |
Решение задачи
По правилу дифференцирования произведения производную от заданной функции можно записать в виде
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg e |
x |
′ |
(x |
5 |
+1)+ |
tg e |
x |
(x |
5 |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
y′ = |
|
|
|
|
|
+1). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция |
|
tg e x |
|
– |
сложная. Поэтому ее производную |
|
||||||||||||||||||||||
|
вычислим, используя правило дифференцирования сложной |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
функции. Т.к. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
tg e |
x |
|
′ |
1 |
|
|
(tg e |
x ′ |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
(e |
x |
′ |
|
|
1 |
|
|
1 |
e |
x |
, |
|||
|
|
|
= |
tg ex |
|
) = |
2 |
tg ex |
cos2 ex |
|
) = |
|
tg ex |
|
cos2 ex |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x5 +1)′ = 5x4 , |
|
+1)+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
x |
(x |
5 |
|
|
x |
|
4 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
то |
|
y |
= |
|
|
tg ex |
cos2 ex e |
tg e |
5x |
. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти производную функции y = arcsin 1 −24x .
Решение задачи
Производную от этой функции вычислим, используя правило дифференцирования сложной функции.
7
|
1 −2 |
4 x ′ |
= |
|
1 |
|
|
1 |
−2 |
4 x |
′ |
1 |
1 |
(1 |
−2 |
4 x ′ |
||
arcsin |
|
1 −(1 −24 x ) |
|
|
|
|
= |
24 x 2 1 −24 x |
) = |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
= |
1 |
|
1 |
(−16 x )ln16 , |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
4 x |
2 |
1 −24 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x ′ |
1 |
1 |
|
|
(− |
2 |
4x |
)4ln 2 . |
|
|
|
|
|||
y′= arcsin 1 − 2 |
|
= |
4 x 2 |
1 − 24x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Найти производную функции y = 2 5 arctg(x4 +2x).
Решение задачи
Постоянную 2 вынесем за знак производной и используем правило дифференцирования сложной функции. Получим
|
|
2 |
arctg(x4 |
+ 2x) − |
4 |
(arctg(x4 |
+ 2x))′ = |
||||||||||||||
|
y′= |
5 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
arctg(x4 + 2x) |
− |
4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
(x4 + 2x)′ = |
||||||||
= |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x4 + 2x)2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|||||||||||||
|
= 52 (arctg(x4 + 2x))− |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4x3 + 2). |
||||||||
|
5 |
|
|
1 + (x41+ 2x)2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
arctg(x4 |
+2x) |
− |
4 |
|
|
1 |
|
|
|
(4x3 +2). |
||||||||
y′ = |
5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 +(x4 +2x)2 |
|
|
|||||||||||||
5. |
Найти производную функции |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
y = |
x |
−1 sin 1 |
|
+(x2 +18) |
|
cos x . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
8
Решение задачи
Производная суммы двух функций равна сумме их производных, поэтому
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
x |
−1 sin |
1 ′ |
+((x |
|
|
+18) |
|
|
|
|
′ |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
′ |
= |
|
|
|
|
|
2 |
cos x ). |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Каждое |
слагаемое |
|
|
дифференцируем |
|
|
|
по |
|
правилу |
||||||||||||||||||||||
дифференцирования произведения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y′ = |
|
|
x |
− |
′ |
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
′ |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
sin |
|
|
+ |
|
|
|
−1 sin |
|
|
|
+ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
+(x2 +18)′( |
|
cos x )+(x2 +18)( |
cos x )′, |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
2 +18) |
|
||
|
sin |
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y′ = |
|
|
|
x |
+ |
|
−1 cos |
− |
|
2x |
cos x |
+ |
(−sin x). |
|||||||||||||||||||
|
|
x |
|
3 |
|
3 |
x |
|
|
+ |
2 |
cos x |
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
6. |
Найти производную функции y = |
x3 |
− |
|
|
x −1 |
. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
ln(5x + tg x) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение задачи
По правилу дифференцирования частного двух функций
производную от заданной функции можно записать в виде |
|
|
||||||
y′ = |
|
(x3 − x −1)′ln(5x + tg x) − (x3 − |
x −1)(ln(5x + tg x))′ |
. |
||||
|
(ln(5x + tg x))2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
Найдем производную числителя (x3 − x−1)′ как производную |
||||||||
разности двух функций. |
|
|
|
|
|
|
||
(x |
3 − x −1)′ = (x3 )′ − |
1 |
(x −1)′ |
= 3x2 − |
1 |
1 . |
||
|
2 |
x −1 |
|
2 |
x −1 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
Функция ln(5x + tg x) – сложная. Поэтому производную
найдем, используя правило дифференцирования сложной функции.
(ln(5x + tg x))′ = |
1 |
(5x + tg x)′ = |
|
|
1 |
|
+ |
1 |
|
|||
|
|
|
|
5 |
|
, |
||||||
5x + tg x |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
5x + tg x |
|
cos2 x |
||||||
|
′ |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
(ln(5x + tg x)) |
= |
|
5 |
+ |
|
|
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
5x + tg x |
|
|
cos2 x |
|
|
|
Подставим вычисленные производные в формулу для производной частного и запишем производную от заданной функции
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x −1) |
|||||||||
|
3x2 |
− |
|
|
|
|
|
ln(5x |
+ tg x) − |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x3 |
− |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x + tg x |
|
|
|
|
cos2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
y′ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ln(5x + tg x))2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
7. |
Найти производную функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
2 |
+ n |
2 |
|
sin(nx + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
y |
= arctg |
|
|
|
|
|
3) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
m |
2 |
+n |
2 |
sin(nx |
+ |
3) |
|
′ |
|
|
|
|
n |
m2 +n2 cos(nx +3) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
y′ = arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
2 |
+n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
sin(nx +3) |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
8. |
Найти производную функции y = tg tg |
|
|
|
|
+1 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
y′ = tg tg |
|
+1 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 |
tg |
|
|
+1 cos |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
9. |
Найти производную функции y = x2cos x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
10