Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ТЕМЕ ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.04.2015

Размер:

535.48 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 132 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Образец типового расчета

Найти производные функций ( задания 1÷9 )
1.	y =	(x2 −2)	1 −2x3
1.	y =	x3	− x	.
		x3	− x
2.	y = tg ex (x5 +1).
3.	y = arcsin		1−24 x .
4.	y =	2 5 arctg(x4 +2x).
5.	y =	x −1 sin 1		+ (x2	+18)	cos x .
		3	x

6.y = x3 − x −1 . ln(5x + tg x)

7.y = arctg m2 + n2 sin(nx + 3) .

		x
8.	y = tg tg		+1 .
8.	y = tg tg	2	+1 .
		2

9.y = x2cos x .

10. Вычислить приближенно значение y = 3 3x3 −2x +7 в точке x =1,12 .

11. Найти dy и d 2 y dx dx2

x = ln2 t

для параметрической функции .

y = t3 +sin t

12.	Найти y′ и y′′ для функции y(x), заданной неявно. x + y 2 = xy .
13.	Найти наибольшее и	наименьшее значения	y = 1 x −3	x	при
	x [−2,8] .		3
	x [−2,8] .
14.	Исследовать характер	поведения функции	y = cos2 x + x2	−1	в
	точке x0 = 0 .

		x	2	x
15.	Построить графики функций y =		, y = ln		+ 2 .
				x −1
	x −1

Решение типового варианта

Справочный материал

Пусть функция f (x) задана на некотором интервале (a, b), и

точка	x0 (a, b). Если приращение		аргумента x в	точке x0
таково,	что	x0 + x (a, b), то	приращение	функции
y = f (x0 + x)− f (x0 ).

Производной функции f (x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции y к вызвавшему его

приращению аргумента x при условии, что x стремится к нулю (если этот предел существует и конечен).

Производную обозначают f ′(x0 ), y′ или y′x . Таким образом, по определению

y′ =	f ′(x0 )= lim		y
			x
		x→0
или		f (x0 +	x)− f (x0 )
y′ = f ′(x0 )=	lim			.

	x →0		x

При вычислении производных пользуемся известными правилами дифференцирования, а также формулами производных основных элементарных функций, приведенными в таблице.

Функция f (x), имеющая конечную производную в каждой точке интервала (a, b), называется дифференцируемой на этом

интервале, а операция нахождения производной – дифференцированием.

Правила дифференцирования

1.(c)′ = 0 ;

2.(f (x)± g(x))′ = f ′(x)± g′(x);

3.(f (x) g(x))′ = f ′(x) g(x)+ f (x) g′(x);

			′			′
4.	(c f (x))					′
4.	(c f (x))				= c f (x);
		f (x)	′			′	′
		f (x)				f (x) g(x)− f (x) g (x)
5.				=				;
5.				=		g 2	(x)	;
		g(x)				g 2	(x)

6.y′x = (f (u(x)))′x = fu′ u′x .

Таблица производных основных элементарных

функций

(xα)′ = αxα−1

(tg x)′ =

(x)′ =1 ; (x2 )′ = 2x

cos

(ctg x)′ = −

sin

(

′

(arcsin x)′ =

x )

1 − x2

1 ′

(arc cos x)′ = −

= −

1 − x2

(ex )′ = ex

(arctg x)′ =

1+ x2

(a x )′ = a x ln a

(arcctg x)′ = −

1+ x2

′

(ln x)

(sh x)′ = ch x

(loga

x)′ =

(ch x)′ = sh x

x ln a

(sin x)′ = cos x

(th x)′ =

ch2 x

(cos x)′ = −sin x

(cth x)′ = −

sh2 x

Задачи 1 ÷ 9.
1. Найти производную функции
y =	(x2 −2)	1 −2x3
	x3	.
		− x

Решение задачи

По правилу дифференцирования частного двух функций производную заданной функции можно записать в виде

	(x2	−2)	1	−2x3 ′(x3	− x)− (x2	−2) 1 −2x3 (x3		− x)′
y′ =									.
y′ =					(x3 − x)2				.
					(x3 − x)2
					(x2 −2)	1 −2x3	′
Производную			числителя		(x2 −2)	1 −2x3	найдем		по

правилу произведения двух функций, одна из которых – сложная, т. е. производную от заданной функции можно записать в виде

−2)

1 −2x

′

+(x

−2x

′

= (x

−2) 1 −2x

−2)

= 2x 1 −2x3 + (x2 −2)

(−6x2 )=

1 −2x3

4x(1 −2x3 )−(x2

−2)6x

2 1 −2x3

Производная знаменателя (x3 − x)′

= 3x2 −1 .

Подставим найденные выражения в формулу для производной частного и запишем производную от заданной функции в виде.