Решение задачи

Пусть функция

y = f (x)

задана параметрически в виде двух

x = x(t)

, где t – параметр. Если функции y(t)

и x(t)

уравнений

y = y(t)

то функция y = f (x)

дифференцируемы

в точке t ,

также

дифференцируема в точке

x(t),

и ее производную находим по

′′

Вторую производную yxx будем искать как производную по t

от первой производной y′x

′

'

′

yt

d 2 y

(y′x )

xt′

y′′

x′

− y′

x

′′

′′

t

t

tt

t

t

tt

= yxx =

=

=

.

dx2

xt′

xt′

(xt′)3

Решение задачи 11

Найдем производные от функций y(t)

и x(t)

по t .

xt′ = 2 ln t

1

, yt′ = 3t2 +cos t .

t

ytt′′(t)

xtt′′(t)

Найдем

вторые производные

и

по

t как

производные от

yt′(t)

и xt′(t) по

t . Производную xtt′′ будем

искать как производную произведения.

1

1

'

1

1

1

2

′′

'

+ ln t

+ ln t−

2

=

2

(1

− ln t),

xtt = 2

(ln t)t

t

= 2

t

t

t

t t

t

ytt′′

= 6t −sin t .

dy

=

yt′

=

3t2 +cos t

=

3t3 +t cos t

,

dx

xt′

1

2 ln t

2 ln t t

−(3t2 +cos t)

d 2 y

ytt′′ xt′ − yt′ xtt′′

(6t −sin t)2 ln t

1

2

(1 −ln t)

=

=

t

t2

=

dx2

(xt′)3

2 ln t

1

3

t

=

(6t −sin t)t2 ln t −(3t2 +cos t)t(1 −ln t)

.

4(ln t)3

Задача 12

Найти y′

и y′′

для функции y(x), заданной неявно.

x + y2 = xy .

Справочный материал

y = y(x)

Пусть

дифференцируемая

в

точке

x

функция

задана

соотношением

F(x, y)= 0

и,

следовательно, ее

производная

равна

нулю.

При

этом

функция

F (x, y(x))

дифференцируема

в

точке

x .

Производную

′

можно

y (x)

определить

из равенства

(F(x, y(x)))′x = 0 ,так

как

функция

F (x, y(x))

тождественно

равна

нулю.

Далее

выражаем

′

(x, y(x)).

Для

того

чтобы найти

y

′′

функция

y (x)= F1

(x),

F1(x, y(x)) в

точке

x

должна

быть

дифференцируема. Тогда

(2 y − x) y′x = y −

1 ,

2

x

y −

1

y′x =

2

x

.

(2 y − x)

′′

как производную частного.

Найдем вторую производную y

(x)

1 '

1

'

'

1

y −

y −

(2 y − x)−(2 y − x)x y −

2

2 x

′′

2

x

x x

yxx =

(2 y − x)

=

=

(2 y − x)2

x

1

1

y′x

+

(2 y

− x)−(2 y′x

−1) y

−

4 x3

2

=

x

=

(2 y − x)2

1

1

y −

1

y −

1

x

2

x

2

+

(2 y − x)

−

2

−1 y −

(2 y − x)

(2 y − x)

4 x

3

2

x

=

.

(2 y − x)2