4.2.6. Розрахунок показників функційної безпечності і безвідмовності при мажоритарному резервуванні
Загальну ймовірність безпечної роботи технічного засобу при мажоритарному резервуванні "n" із "m" (при однаковій функціональній безпеці каналів резервування) визначають за формулою
де Рбj(t) – імовірність безпечної роботи кожного каналу резервування;
Рб.ре(t) – імовірність безпечної роботи розв’язувального елемента;
С jm – число сполучень "j" із "m".
Ч
исло
сполучень "j"
із "m"
визначається в такий спосіб:
де m!, j! – факторіали чисел.
Загальна ймовірність безвідмовної роботи технічного засобу при мажоритарному резервуванні типу "n" із "m" дорівнює
де Pj(t) – ймовірність безвідмовної роботи кожного каналу резервування;
Pр.е(t) – ймовірність безвідмовної роботи розв’язувального елемента.
Для максимального варіанта мажоритарного резервування з функційної безпечності (при n = m – 1) можна використовувати спрощену формулу для визначення ймовірності безвідмовної роботи технічного засобу:
При експоненційному законі розподілу небезпечних відмов функція безвідмовності технічного засобу при мажоритарному резервуванні "n" із "m" буде мати вигляд
де j – інтенсивність відмов кожного з каналів резервування.
Середній наробіток до відмови технічного засобу при мажоритарному резервуванні "n" із "m" (при n = m – 1) дорівнює
або, з урахуванням співвідношень Тсрj=1/j, n=m–1, його можна визначити (при n = m – 1) так :
де Тсрj – середній наробіток до відмови одного каналу резервування технічного засобу (нерезервованого технічного засобу).
Формула (4.30) дозволяє знайти мінімальну кількість каналів резервування при визначеному значенні середнього наробітку до відмови одного каналу резервування і його допустимому значенні для всієї резервованої системи.
Формула (4.31) є найбільш важливою і показує, що середній наробіток до відмови резервованої системи при n=m–1 завжди є меншим, ніж без використання резервування. У даному випадку дріб (m+n)/mn є значення програшу за критерієм середнього наробітку до відмови резервованої системи у порівнянні з одноканальним варіантом структури.
Аналіз формул (4.23) і (4.25) показує, що при однаковій кількості каналів резервування (m=const) із збільшенням числа "п" підвищується функційна безпечність технічного засобу, але знижується його безвідмовність. При n=const із збільшенням числа "m" підвищується безвідмовність, але знижується функційна безпечність технічного засобу.
Тільки для деяких варіантів мажоритарного резервування, наприклад, для варіанта "2" із "3", розрахункові формули мають подібний вигляд, але істотно відрізняються за значеннями ймовірностей безпечної й безвідмовної роботи, які в них входять, тому що найчастіше Рбj(t) Pj(t).
Для мінімально можливого і найбільш поширеного варіанта мажоритарного резервування типу "2" із "3" загальна ймовірність безпечної роботи дорівнює
Рб.2/3 (t)=[3Pбj 2(t) – 2Pбj 3(t)]Рб.ре. (4.32)
При безпечному розв’язувальному елементі загальна ймовірність безпечної роботи технічного засобу з мажоритарним резервуванням типу "2" із "3" дорівнює
При експоненційному законі розподілу небезпечних відмов функція безпечності технічного засобу при мажоритарному резервуванні "2" із "3" буде мати вигляд
де нj – інтенсивність небезпечних відмов кожного з каналів резервування.
Середній наробіток до небезпечної відмови технічного засобу при мажоритарному резервуванні "2" із "3" дорівнює
або, з урахуванням співвідношення Тнj=1/нj, визначається так:
де Тср.нj – середній наробіток до небезпечної відмови одного каналу резервування технічного засобу (нерезервованого технічного засобу).
Для мажоритарного резервування типу "2" із "3" загальна ймовірність безвідмовної роботи дорівнює
Р2/3 (t)=[3Pj 2(t) – 2Pj 3(t)]Рр.е. (4.37)
При ідеальному розв’язувальному елементі загальна ймовірність безвідмовної роботи технічного засобу з мажоритарним резервуванням типу "2" із "3" дорівнює
Р2/3 (t)=3Pj 2(t) – 2Pj 3(t). (4.38)
При експоненційному законі розподілу відмов функція безвідмовності при мажоритарному резервуванні "2" із "3" буде мати вигляд
де j – інтенсивність відмов кожного з каналів резервування.
Середній наробіток до відмови технічного засобу при мажоритарному резервуванні "2" із "3" дорівнює
або, з урахуванням співвідношення Тсрj=1/j, визначається так:
де Тсрj – середній наробіток до відмови одного каналу резервування технічного засобу ( нерезервованого технічного засобу).
Для визначення ймовірностей безпечної і безвідмовної роботи резервованої структури при мажоритарному резервуванні “3” із “4” необхідно у формули (2.22) і (2.23) підставити значення n=3 m=4 та значення ймовірностей безпечної й безвідмовної роботи каналів резервування. Тоді, при експоненційному законі розподілу відмов, ці ймовірності визначають за формулами
Рб.3/4 (t) = 3e–4нj t – 8е–3нj t +6е–2нj t; (4.42)
Р3/4 (t) = 4e–3j t – 3е–4j t. (4.43)
При мажоритарному резервуванні “3” із “4” (у порівнянні з одноканальною структурою) його середній наробіток до небезпечної відмови збільшується, а середній наробіток до відмови зменшується:
Тср.н = 13/12 Тср.нj; (4.44)
Тср = 7/12 Тср.j , (4.45)
де Тср.нj, Тср.j – середній наробіток до небезпечної відмови та середній наробіток до відмови одноканальної структури технічного засобу, Тср.нj=1/нj; Тср.j =1/j.
Д
ля
варіанта “3” з “4” функції виграшів
із підвищення ймовірності безпечної
та безвідмовної роботи КТЗ визначаються
відповідно в такий спосіб:
Виграш з підвищення функційної безпечності є тільки при значеннях імовірності безпечної роботи одного каналу резервування Pбj(t) 0,24; виграш із безвідмовності – тільки при значеннях імовірності безвідмовної роботи одного каналу Рj(t) 0,77.
Періоди експлуатації (0 – txн) і (0 – tx) об'єкта з варіантом резервування “3” із “4”, у яких є виграші з функційної безпечності та безвідмовності, не перевищують відповідно таких значень:
