17. Пример построения частотных характеристик цепей, содержащих только реактивные элементы.

Теория:

Запишем выражение для входного сопротивления x_вх пассивного двухполюсника, содержащего только реактивные элементы:

где: - корни полинома числителя; – корни полинома знаменателя.

В цепи, содержащей только реактивные элементы, угол сдвига φ между напряжением и током может принимать только значения . При резонансе в таких цепях φ = 0, поэтому в момент резонанса в цепи (частота ω равна корню одного из полиномов) происходит скачкообразное изменение угла φ от до .

В этих точках (точках резонанса, частота ω равна корню одного из полиномов) (нуль, если корень полинома числителя) или (полюс, если корень полинома знаменателя).

Для чисто реактивных цепей x(ω) всегда возрастает с ростом ω. На втором графике видно, что x_вх увеличивается от (полюс), растет, проходя через нуль и возрастая далее, снова проходит через полюс , процесс затем повторяется.

Когда , ,

Когда , ,

Это видно из формул ,

Теперь рассмотрим данную схему:

На пути от одного входного зажима к другому имеется цепочка ветвей, состоящая только из конденсаторов.

При , (катушки превращаются в разрыв, а конденсаторы – в провод).

Получаем, что x_вх стремится к 0 пропорционально 1/ω.

В точке ω = 0, , потому как должно всегда возрастать.

Строим второй график.

18. Устойчивость в цепи с нелинейным элементом и индуктивностью

Особенности колебательных процессов в нелинейных цепях: в линейных цепях при воздействии постоянных ЭДС установившимися могут быть только постоянные токи. В отличие от линейных цепей при воздействии постоянных ЭДС в нелинейной цепи установившимися могут быть не только постоянные токи, но и колебательные токи. Последние возникают вследствие возможности неустойчивых состояний в нелинейной цепи, причём амплитуда установившихся колебаний определяется нелинейными свойствами цепи.

Рисунок 18.1 – Цепь с нелинейным элементом (дуга) и индуктивностью

Рисунок 18.2 – График зависимости u от i

Электрическая дуга обладает падающей характеристикой u=F(i), изображённой на рисунке 18.2. Уравнение цепи имеет вид:

(*)

При равновесии в цепи ток не должен изменяться, т.е. должно быть di/dt = 0. Условимся обозначать величины при равновесии с индексом «р». На рисунке 18.2 проведена также прямая u₀-ri. Равновесие имеет место при пересечении этой прямой с характеристикой дуги, т.е. в точках А и В. Выясним, какое из этих состояний будет устойчивым, а какое – неустойчивым. При равновесии имеем

(**)

Пусть в некоторый момент времени, который примем за начальный (t=0), по какой-либо причине ток получил малое отклонение η₀ от положения равновесия.

В следующие моменты времени это отклонение начнёт изменяться, т.е. будет функцией времени. Обозначим его через η. При этом ток будет равен:

Напряжение u на дуге можно выразить через его значение u_p при равновесии и через η, разлагая u=F (i_p+ η) в ряд по степеням η. Отбрасывая в первом приближении члены с η во второй и более высоких степенях, получаем:

где - динамическое сопротивление участка с электрической дугой при i=i_p.

Учитывая ещё, что di/dt = dη/dt и подставляя выражения i=i­­_р+ η, di/dt и u в основное уравнение цепи (*), находим:

Вычитая отсюда уравнение равновесия (**), получаем уравнение для приращения тока η:

Это уравнение оказалось линейным, поскольку мы ограничились первым приближением, т. е. ограничились первым членом в разложении Δu по степеням η. Его характеристическое уравнение

Имеет единственный корень

И решение для η с учётом начального его значения имеет вид

Если α <0, т.е. если (r+r_д)>0, то η→0 при t→∞, т.е. ток i возвращается к его значению i_p при равновесии.

Наоборот, при α >0, т.е. при (r+r_д) <0, имеем η→∞ при t→0, т.е. величина i удаляется от её значения i_p при равновесии.

Так как вследствие падающей характеристики дуги то условие (r+r_д)>0 означает, что наклон прямой u₀-ri больше наклона кривой u=F(i), что имеет место в точке В. Эта точка является точкой устойчивого равновесия.

Условие (r+r_д)<0 означает, что наклон прямой u₀-ri меньше наклона кривой u=F(i), что имеет место в точке А. Эта точка является точкой неустойчивого равновесия. Малейшее отклонение от неё ведёт либо к переходу в точку В, либо к погасанию дуги.

Таким образом, устойчивое состояние соответствует отрицательному корню характеристического уравнения, относящегося к линейному в первом приближении уравнению для отклонения η. Можно сказать также, что устойчивое состояние данной цепи характеризуется тем, что динамическое сопротивление (r+r_д) всей цепи положительно.