6. Пример расчёта переходной и импульсной характеристики для цепи 1-го порядка

Расчёт импульсной характеристики для rC-цепи операторным методом

Пусть на вход цепи подан δ-импульс напряжения u(t)=K*δ(t), площадь импульса равна K. Импульсную проводимость Y_δ(t) найдём из соотношения i(t)=K*Y_δ(t)

(переход от операторного изображения к оригиналу в данном случае лучше запомнить, а так есть общая формула:

Если с 1/r ещё понятно из прошлого билета, то вот как получено второе слагаемое:

7. Интеграл Дюамеля. Пример расчёта цепи с помощью интеграла Дюамеля.

Пусть на зажимах цепи, обладающей переходной проводимостью Y(t), действует напряжение u(t) или ЭДС e(t) произвольной формы (рис 12.7).

Цепь может быть сколь угодно сложной, она является пассивным двухполюсником. Ток i(t) под действием u(t) можно определить, заменив действительную кривую u(t), приближённо ступенчатой с интервалом по оси t, равным ∆x (рис 12.7). Ток в момент t можно рассматривать как возникающий под действием серии скачкообразных напряжений, следующих друг за другом через промежутки ∆x в интервале от 0 до t. Первый скачок равен u(0) в момент t=0. Последующие скачки равны . Составляющая тока, вызванная отдельным скачком напряжения, действующим в момент x, равна ∆u*Y(t-x). Переходную проводимость нужно рассматривать как функцию аргумента (t-x), так как от момента x возникновения данного скачка напряжения до момента t отсчёта значения тока прошло время (t-x). Весь ток i(t) является суммой составляющих тока, вызванных отдельными скачками напряжения, т. е.

При уменьшении интервала до бесконечности малых интервалов dx ступенчатая кривая напряжения перейдёт в заданную кривую u(t), и, соответственно, получим точное выражение для искомого тока i(t):

Если вышестоящий интеграл взять по частям, то получим выражение

Полученное выражение для i(t) называется интеграл Дюамеля, который позволяет решать задачу о включении цепи под действие напряжения u(t) произвольной формы, причём Y(t) определяется в итоге решения более простой задачи-включения той же цепи под постоянное напряжение.

ПРИМЕР

Включение rC-цепи под действие напряжения u(t)=U(1-e^-t/T)

Постоянная T определяет скорость нарастания напряжения u(t). При T=0 имеем случай включения цепи под U=const.

Расчёт с помощью интеграла Дюамеля в случае, когда входное напряжение u(t) описывается кусочно-заданной функцией, имеющей разрывы.

Реакция цепи рассчитывается для каждого интервала функции u(t) в отдельности.

Применяя интеграл свёртки в случае кусочно-заданной u(t), получим:

Последнее выражение получается, если интегралы в формуле(**) взять по частям.

8. Решётчатые функции. Переход от функции непрерывного времени к решетчатой функции.

Для расчёта цепей при действии последовательности импульсов существуют методы, позволяющие определить значения тока или напряжения в цепи (реакцию цепи) в дискретные моменты времени, совпадающие с началом действия каждого импульса. Метод разностных уравнений один из них.

Будем предполагать, что длительность импульса мала в сравнении с интервалом времени, который необходим анализируемой цепи для выхода в установившийся режим. Последовательность импульсов может быть описана аналитически с помощью единичной функции или с использованием –функции.

Запишем последовательность импульсов с амплитудами и длительностью в виде суммы:

Полагая и переходя в последнем выражении к пределу при неизменной площади n-ого импульса, имеем:

откуда получим описание последовательности импульсов с помощью –функции:

Последовательности и можно рассматривать как функции дискретного аргумента , или решётчатые функции.

Квадратные скобки показывают, что заключённая в них переменная принимает только положительные целочисленные значения.

Решётчатая функция – последовательность дискретных значений функции f в моменты времени 0, T, 2T, … .