5. Переходная и импульсная характеристики цепи.

Переходная характеристика цепи

Функция 1(t) является так называемой единичной функцией, имеющей значения

Возникающие в линейной цепи токи и напряжения прямо пропорциональны приложенной к цепи скачкообразной ЭДС. Поэтому имеет место равенство

где, E(t)-скачкообразная ЭДС: E(t)=E*1(t); x(t)-искомая величина, т. е. ток или напряжение на некотором участке цепи в переходном процессе. В дальнейшем для определённости будем под x(t) понимать ток i(t) на входе цепи (Рис 12.3 б); h(t)- функция времени, называемая переходной характеристикой цепи.

Переходная характеристика определяется путём расчёта тока или напряжения при включении цепи под действие постоянного напряжения (ЭДС):

Если реакция цепи – напряжение u(t), h(t)- безразмерная величина

Если реакция цепи- ток i(t), h(t)=Y(t)-переходная проводимость

ПРИМЕР:

Для цепей с последовательным включением rL и rC элементов функция Y(t) определяется путём расчёта тока i(t) классическим или операторным методом при включении цепи под действие постоянного напряжения U=const:

Если к цепи приложена скачкообразная ЭДС, то:

Импульсная характеристика цепи

Рассматривая переходный процесс в цепи, в которой происходит скачкообразное изменение индуктивности или ёмкости, в определённых условиях возникают напряжения и токи бесконечно большого значения и бесконечно малой длительности (Δt→0). Такие токи и напряжения, имеющие импульсный характер, могут быть описаны с помощью импульсной функции Kδ(t), где K-вещественное число, а δ(t) является единичной импульсной функцией, определяемой следующим образом:

δ(t)= , при t= 0

δ(t)= , при t≠ 0 (t›0 и t‹0), причём

Отсюда можно записать:

Следовательно, единичную импульсную функцию можно рассматривать как производную единичной скачкообразной функции

Как видно из определения, площадь единичной импульсной функции равна единице.

Пусть ЭДС, действующая на входе цепи, имеет вид импульса, имеющего бесконечно большую амплитуду и бесконечно малую длительность. Импульс ЭДС можно представить, как сумму 2-х скачкообразных ЭДС, имеющих бесконечно большое значение, противоположных по знаку и смещённых во времени на Δt→0, причём площадь импульса EΔt=K=const

Рис. 12.5

На первом этапе ток возникает под действием одной положительной скачкообразной ЭДС. Получим выражение для него

Учитывая что:

Пояснение смысла полученного выражения:

Рассматриваем цепь c (r, L) рис12.6:

Выше было сказано:

Отсюда видно Y(0)=0

А функция δ(t) при t=0 равна бесконечности, тогда для выражения KY(0)δ(t) получаем неопределённость ( 0×бесконечность). Решим эту неопределённость записав

Полученный ток устанавливается скачком под действием импульса ЭДС, соответственно скачком устанавливается потокосцепление Ψ=0 до Ψ(0)=Li(0)=K.

Это возможно в результате действия бесконечно большой ЭДС в бесконечно малый промежуток времени.

Таким образом, на первом этапе скачкообразно накапливается энергия в полях цепи (в нашем случае катушке). На втором эта энергия рассеивается в сопротивлениях цепи в переходный процесс (этот процесс начинается под действием отрицательной, скачкообразной ЭДС рис 12.5)

Реакцию цепи(i(t)) можно представить как сумму реакций на обе скачкообразные ЭДС (+E и -E):

Где, (t)-производная переходной проводимости

Величину (t) (обозначают Y_δ (t)) и называют импульсной проводимостью цепи, определяющей процессы в цепи после завершения действия импульса.

Величину (t), в общем случае (t), обозначают h_δ(t) и называют импульсной характеристикой цепи, определяющей процессы в цепи после завершения действия импульса

Производная по времени тока после действия скачкообразной ЭДС имеет такой же закон изменения во времени, как и ток после действия импульсной ЭДС. Они отличаются друг от друга только множителями E и K, т. е. процесс после действия скачка определяется только величиной скачка E, а процесс после действия импульса площадью импульса K

Операторное изображение функций 1(t) и δ(t)