15. Частотные характеристики цепи, состоящей из двух индуктивно связанных контуров.

Н а рис. 6.24 представлена частотная характеристика I₁(ω) при U₁ = const, а также частотная характеристика х_1э(ω). Полюсами функции х_1э(ω) являются частоты ω=0, ω=ω₀ и ω=∞. Ее нулями являются частоты ω= и ω= . Во всем диапазоне частот соблюдается условие dx_1э/dω > 0 и полюсы, и нули чередуются. Штриховыми линиями показаны частотные характеристики при r₂ ≠ 0. Таким образом, резонансная кривая I₁ = F₁(ω) цепи, состоящей из двух связанных контуров с малым затуханием, имеет два максимума и один минимум.

П ри ω = 0 и при ω = ∞

П ри ω = ω₀ и r₂ = 0

При ω = ω₀ и r2≠0.

З атухание контура - отношение, которое определяет кратность превышения напряжения на зажимах индуктивного и емкостного сопротивлений над напряжением на зажимах всей цепи.

Добротность контура: 1/Q

Рассмотрим случай, когда затухание 2-го контура отлично от нуля (r2≠0) Реактивное с опротивление цепи:

Определим частоты, на которых имеет место резонанс, из уравнения.

О бычно такие контуры работают в режиме согласованной настройки, когда их собственные резонансные частоты равны друг другу. Для упрощения анализа уравнения считаем контуры одинаковыми: L1 = L2=L, C1 = C2 =C , Делим на ωL:

И з последнего выражения видно, что при данном затухании d₂ при некотором значении k (называемом критическим) внутренний корень = 0, и тогда

А налогично, при данном k при некотором значении d₂ (называемом критическим) внутренний корень = 0, и тогда

Если при данном k значение d₂ станет больше критического, или при данном d₂ значение k станет меньше критического, корни ω₂, ω₃ становятся мнимыми, и тогда резонансу соответствует только частота ω₀.

Таким образом, в цепи, представляющем собой 2 индуктивно связанных контура, в зависимости от соотношения параметров резонанс имеет место при 1,2 или 3-х значениях частоты

16. Общие свойства входных функций цепей, содержащих только реактивные элементы.

Ч астотные характеристики в общем виде

Функция х(ω) обладает следующими свойствами:

1. Полиномы числителя и знаменателя содержат члены, степень ω которых уменьшается на 2.

2. Степени полиномов числителя и знаменателя отличаются на 1 (полиномы – чётный и нечётный).

3. В чисто реактивной цепи реактивная проводимость b(ω) = 1/ х(ω) Заметим , что в цепи с активным сопротивлением связь b и х иная:

4 .Можно показать, что

А это значит, что нули и полюса функций х(ω) и b(ω) чередуются на оси ω:

5. При ω →∞ и ω →0 как х(ω), так и b(ω) могут стремиться либо к 0, либо к ∞, т.к. в пределе L-C цепь может вести себя или как ёмкость, или как индуктивность

6. В диапазоне 0 < ω < ∞ нули и полюса как функции х(ω), так и b(ω), соответствуют резонансным частотам цепи: Частота, при которой х=0 (это ноль функции х(ω)), соответствует резонансу напряжений, т.е. резонансу при последовательном соединении индуктивности и ёмкости. При этом b=∞

Частота, при которой b=0 (это ноль функции b(ω) ), соответствует резонансу токов, т.е. резонансу при параллельном соединении индуктивности и ёмкости. При этом х=∞.

Таким образом нули функции х(ω) являются полюсами функции b(ω) и наоборот.

(В цепи с активным сопротивлением условие резонанса для x и b формулируются одинаково: x=0, b=0 ).

Число резонансов зависит от конфигурации цепи и числа элементов.

7. Угол сдвига фаз ϕ между напряжением и током в такой цепи может принимать значения ϕ= ± π/2. В диапазоне частот, где х, b > 0, ϕ= π/2. При х, b < 0 ϕ= - π/2. При резонансе ϕ= 0, поэтому при резонансе происходит скачкообразное изменение ϕ («опрокидывание» фазы)

Отмеченные свойства позволяют построить качественные характеристики х(ω) и b(ω) , не имея их аналитических выражений.

Надо определить значение функции при ω=0 и ω →∞, определить число возможных резонансов, а значит, нулей и полюсов в диапазоне 0 < ω < ∞, расставить их на оси частот, учитывая, что нули и полюса чередуются. А затем построить график х(ω) или b(ω), учитывая, что х(ω) – растущая функция, а b(ω) – убывающая.

Имея частотные характеристики х(ω) и b(ω) отдельных участков цепи, можно графически суммировать х(ω) участков, соединённых последовательно, и суммировать b(ω) участков, соединённых параллельно.