- •1. Численное интегрирование системы дифференциальных уравнений. Явный и неявный методы Эйлера.
- •2. Получение синтетической схемы, заменяющей катушку, конденсатор.
- •3. Пример использования метода синтетических схем для расчёта переходного процесса.
- •4. Макромодели.
- •5. Переходная и импульсная характеристики цепи.
- •6. Пример расчёта переходной и импульсной характеристики для цепи 1-го порядка
- •7. Интеграл Дюамеля. Пример расчёта цепи с помощью интеграла Дюамеля.
- •8. Решётчатые функции. Переход от функции непрерывного времени к решетчатой функции.
- •9.Разностные уравнения 1-го порядка. Пример формирования разностного уравнения для цепи, находящейся под воздействием последовательности прямоугольных импульсов.
- •10. Формирование разностного уравнения для цепи 1-го порядка, находящейся под воздействием последовательности δ- импульсов.
- •Примеры z-изображений решетчатых функций.
- •12. Решение разностного уравнения методом z- преобразования. Переход от z–изображения к оригиналу (решетчатой функции).
- •13. Расчёт переходного процесса методом z- преобразования с использованием передаточной функции импульсной системы (в случае прямоугольных импульсов и δ-импульсов).
- •14. Резонансные частоты цепи, состоящей из двух индуктивно связанных контуров.
- •15. Частотные характеристики цепи, состоящей из двух индуктивно связанных контуров.
- •16. Общие свойства входных функций цепей, содержащих только реактивные элементы.
- •17. Пример построения частотных характеристик цепей, содержащих только реактивные элементы.
- •18. Устойчивость в цепи с нелинейным элементом и индуктивностью
- •19. Устойчивость в цепи с нелинейным элементом и ёмкостью.
- •20. Релаксационные колебания.
9.Разностные уравнения 1-го порядка. Пример формирования разностного уравнения для цепи, находящейся под воздействием последовательности прямоугольных импульсов.
Разностные уравнения:
Разностное уравнение описывает процессы при действии непрерывных сигналов – аналог дифференциального уравнения, которое описывает процессы при действии непрерывных сигналов.
Разностное уравнение связывает значения решётчатой функции в отдельные моменты времени.
Разностное уравнение 1-го порядка устанавливает связь между значением выходного сигнала в начале -го интервала со значением в начале n-го интервала.
Формирование разностного уравнения 1-го порядка:
Пусть на вход цепи действует последовательность прямоугольных импульсов длительностью .
Значение можно получить методом наложения двух процессов:
1-й определяется энергией, накопленной к началу n-го интервала (к моменту nT).
2 -й процесс определяется только действием импульса, который пришёл в момент nT.
Общий вид разностного уравнения 1-го порядка:
где h – переходная характеристика цепи.
Аналитическое решение разностного уравнения можно получить способом, схожим с классическим методом расчёта переходных процессов:
где – частное решение неоднородного разностного уравнения вида
и – общее решение однородного разностного уравнения вида (штрихи не производные!):
Пример:
Расчёт rL-цепи, находящейся под воздействием прямоугольных импульсов с амплитудой и длительностью .
Частное решение найдём при подставляя в неоднородное уравнение, находим :
где
Однородное уравнение:
Характеристическое уравнение: .
С определим из начальных условий .
Решение:
10. Формирование разностного уравнения для цепи 1-го порядка, находящейся под воздействием последовательности δ- импульсов.
Формирование разностного уравнения 1-го порядка при воздействии на входе цепи последовательности –импульсов площадью (на примере rL – цепи).
Состояние цепи перед приходом очередного –импульса и сразу после –импульса отличаются, хотя и относятся к одному и тому же моменту nT. Обозначим значение тока до прихода импульса в момент nT, значение тока после прихода импульса в момент nT.
Перед приходом следующего –импульса в момент ток падает по экспоненте:
После прихода –импульса в момент
Получены два разностных уравнения:
В уравнении (*) дискретный момент времени nT – момент, предшествующий приходу импульса, а в уравнении (**) дискретный момент времени nT – момент, следующий за приходом импульса.
Для примера используем уравнение (**):
Аналитическое решение разностного уравнения можно получить как:
где – частное решение неоднородного разностного уравнения, – общее решение однородного разностного уравнения.
Пусть .
При подставляя в уравнение, находим :
Однородное уравнение .
Характеристическое уравнение:
С определим из начальных условий:
Решение:
11. z- преобразование. Примеры z-изображений решетчатых функций.
Вопросы 11-13 выглядят не так хорошо, как предыдущие, потому что в этих вопросах какое-то запредельное количество формул, идущих одна за другой. Поэтому было принято волевое решение вставить тупо скрины из учебника, потому что каждый из нас заколебался бы это расписывать словами, а поиск по словам в том тексте, который вставлен скринами, не особо нужен. И если вы поняли предыдущие вопросы, то с этими тремя тоже не должно возникнуть проблем.
Метод расчёта реакции цепи при действии последовательности импульсов, основанный на использовании z-преобразования, во многом аналогичен операторному методу. Он позволяет выполнить переход от последовательностей импульсов к их изображениям, преобразовать разностные соотношения между токами и напряжениями на элементах цепи к алгебраическим уравнениям, решить задачу для z-изображений и затем найти оригинал в виде последовательности импульсов искомой переменной.
Аналогия:
Операторный метод – для непрерывных функций времени,
Метод z-преобразования – для решетчатых функций.
Схема метода:
1. Переход от решетчатой функции к её z-изображению .
2. Решение задачи для z-изображений.
3. Переход к оригиналу: искомой решетчатой функции.
Преобразование, определяющее соответствие решетчатой функции и её z-изображения , можно найти, вычисляя операторное изображение функции , которая описывает последовательность δ-импульсов интенсивностью (площадью) . Учитывая, что операторное изображение импульсной функции равно , получаем . Обозначив , приходим к одностороннему прямому z-преобразованию решетчатой функции :
Функцию называют z-изображением решетчатой функции , что условно можно записать в виде . Ряд сходится, если возрастает не быстрее, чем экспонента для всех z, лежащих вне окружности радиусом на комплексной плоскости. Дискретные последовательности импульсов токов и напряжений в электрических цепях удовлетворяют этим условиям.