33. Значение математических моделей в научных исследованиях, их основные типы в психологической науке.

Очень часто для достижения практических целей возникает необходимость рассматривать исследуемый объект как совокупность отдельных элементов, взаимодействующих между собой, в то же время взаимодействующих с окружающим миром как нечто целое. В этом случае объект удобно представить в виде системы, а при его моделировании использовать методы системного анализа.

Структурная модель системы – это совокупность конкретных элементов данной системы, необходимых и достаточных отношений между этими элементами и связей между системой и окружающей средой. Выделяют пространственные, временные, физические структурные модели, иерархические структурные схемы.

Математическая модель – математическое представление реальности, один из вариантов модели как системы, исследование которой позволяет получать информацию о некоторой другой системе. Математическая модель, в частности, предназначена предсказать поведение реального объекта, но всегда представляет собой ту или иную степень его идеализации.

Традиционно математические модели разделяют на аналитические и имитационные модели.

Аналитические модели представляют собой уравнения или системы уравнений, записанные в виде алгебраических, интегральных, дифференциальных, конечно-разностных и иных соотношений и логических условий. Они записаны и решены в буквенном виде. Отсюда и происходит их название. Аналитическая модель, как правило, статическая. Аналитическое представление подходит лишь для очень простых и сильно идеализированных задач и объектов, которые, как правило, имеют мало общего с реальной (сложной) действительностью, но обладают высокой общностью. Данный тип моделей обычно применяют для описания фундаментальных свойств объектов. Сложные объекты редко удаётся описать аналитически.

Альтернативой аналитическим моделям являются имитационные модели (динамические). Основное отличие имитационных моделей от аналитических состоит в том, что вместо аналитического описания взаимосвязей между входами и выходами исследуемой системы строят алгоритм, отображающий последовательность развития процессов внутри исследуемого объекта, а затем «проигрывают» поведение объекта на компьютере. К имитационным моделям прибегают тогда, когда объект моделирования настолько сложен, что адекватно описать его поведение математическими уравнениями невозможно или затруднительно. Имитационное моделирование позволяет разлагать большую модель на части (объекты, «кусочки»), которыми можно оперировать по отдельности, создавая другие, более простые или, наоборот, более сложные модели.

Аналитические математические модели представляют собой явные математические выражения выходных параметров как функций от параметров входных и внутренних.

Алгоритмические математические модели выражают связи между выходными параметрами и параметрами входными и внутренними в виде алгоритма.

Имитационные математические модели – это алгоритмические модели, отражающие развитие процесса (поведение исследуемого объекта) во времени при задании внешних воздействий на процесс (объект).

Современные математические модели в экологии можно разбить на три класса.

• Первый – описательные модели: регрессионные и другие эмпирически установленные количественные зависимости, не претендующие на раскрытие механизма описываемого процесса. Они применяются обычно для описания отдельных процессов и зависимостей и включаются как фрагменты в имитационные модели.

• Второй – модели качественные, которые строятся с целью выяснения динамического механизма изучаемого процесса, способные воспроизвести наблюдаемые динамические эффекты в поведении систем, такие, например, как колебательный характер изменения биомассы или образование неоднородной в пространстве структуры. Обычно эти модели не слишком громоздкие, поддающиеся качественному исследованию с применением аналитических и компьютерных методов.

• Третий класс – имитационные модели конкретных экологических и эколого-экономических систем, учитывающие всю имеющуюся информацию об объекте. Цель построения таких моделей – детальное прогнозирование поведения сложных систем или решение оптимизационной задачи их эксплуатации.

Чем лучше изучена сложная экологическая система, тем более полно может быть обоснована её математическая модель. При условии тесной связи наблюдений, экспериментального исследования и математического моделирования математическая модель может служить необходимым промежуточным звеном между опытными данными и основанной на них теорией изучаемых процессов. Для решения практических задач можно использовать модели всех трех типов. При этом особенно важны вопросы идентифицируемости (соответствия реальной системе) и управляемости таких моделей.

Значение математических моделей в научных исследованиях.

Современный этап развития математики характеризуется проникновением её методов в различные области естествознания. Считается, что как универсальный научный язык она позволяет точно отображать конкретные научные утверждения. Всякая математическая теория есть обобщение. Сила математики в отвлечённости от частных, специфических свойств предметов и явлений, что делает её универсальной для решения конкретных задач в любой сфере природы и общества.

Математика в современном естествознании – не просто способ расчёта, она является наиболее адекватным языком для формулирования основных законов, которые вне этого языка не могут быть определены. Современные физика, химия, биология проникли в такие области действительности, где для изучаемых ими объектов уже нельзя подобрать соответствующие наглядные образы. В этих условиях для объяснения изучаемых явлений исключительное значение приобретают математические методы и построение математических моделей.

В то же время в публикациях, посвященных методологии научного познания, иногда высказываются мысли о том, что математика, как и когнитивные функции её языка, утрачивает свою действенность. Такие аргументы сводятся к тому, что все чаще для науки важна не столько однозначная количественная характеристика процессов, сколько целая плеяда, цепь различных интерпретаций, моделей и т.п.

Моделирование – это получение знаний об объекте исследования с помощью его заменителей – аналога, модели. Под моделью понимается мысленно представляемый или материально существующий аналог объекта. На основании сходства модели и моделируемого объекта выводы о ней по аналогии переносятся на этот объект.

Основные этапы математического моделирования.

Математическое моделирование систем начинается с выбора реальной системы. К реальным системам в экологии относятся – водоем, лесная экосистема, воздушная среда города, экономика города и т.п.

Выбор системы для моделирования зависит от множества причин – объективных и субъективных.

Решения не всех экологических проблем нуждаются в математическом моделировании. Большое число природоохранных задач может быть решено без привлечения математики, лишь на основе очевидных практических действий в различных экосистемах, промышленности, городском хозяйстве и т.п. В то же время существует большое число важных экологических проблем, которые не могут быть решены без предварительного математического моделирования. В немалой степени постановка задачи математического моделирования зависит от уровня развития экономики страны и уровня отношения общества к экологическим проблемам.

После того, как поставлена цель – моделирование той или иной реальной системы, первым этапом становится изучение системы. Он включает в себя сбор предварительной информации о моделируемой системе: результаты предыдущих исследований (литературные данные, данные от заказчика и т.п.), постановка собственных экспериментов.

Выполнение первого этапа приводит к созданию вербальной модели – словесной модели исследуемой системы (описательный отчет, описательная научная статья). Вербальная модель может давать достаточно полное представление о системе. Многие исследования предметных специалистов – биологов, экологов, химиков ограничиваются созданием вербальной модели системы. Но любая словесная модель даже при очень большом объеме важной и полезной информации имеет существенное ограничение – она не позволяет прогнозировать динамику системы и корректно выявлять управляющие воздействия на систему с целью оптимизации ее функционирования.

Поэтому для современных наук, в том числе и экологии, следующим важным этапом становится создание математической модели системы. Оно начинается с математической формализации. Это – представление в виде математических переменных количественных характеристик элементов системы (численность популяции, концентрация загрязнений, скорость жидкости в водоеме, количество продукции и т.п.).

Наряду с переменными определяются параметры, характеризующие интенсивность различных экологических, биологических, химических и других процессов в экосистеме (коэффициент рождаемости, коэффициент передачи инфекции, константа скорости химической реакции и т.п.). Параметры могут быть константами, а также функциями времени, пространственных переменных и переменных системы. Математическую формализацию и создание математической модели можно определить как два шага – анализ и синтез.

Анализ систем: разложение исследуемой системы на подсистемы и элементы, выделение связей между элементами и процессов в системе.

Синтез: формулировка математических уравнений на основе выражения связей переменных системы из законов сохранения и гипотез. Результатом синтеза становится математическая модель.

Процесс моделирования можно также представить из трёх стадий: формализации (переход от реального объекта к модели), моделирования (анализ и оптимизацию модели, нахождение решения), интерпретации (перевод результатов моделирования в область реальности).

Аналитическое (статическое) и имитационное (динамическое) моделирование

Моделирование как часть научно-исследовательской работы включает в себя такие этапы:

- изучение физической сущности (природы) процессов и явлений, определяющих основные качества исследуемого объекта;

- выполнение предварительных (поисковых) экспериментов;

- формулирование гипотезы, выбор и обоснование физической модели; - математизация модели;

- получение аналитических выражений;

- теоретический анализ полученных закономерностей.

В теории моделирования различают:

1) идеальные (мысленные, символические) модели, например, в виде рисунков, записей, знаков, математической интерпретации;

2) материальные (натурные, вещественные) модели, например, макеты, муляжи, предметы-аналоги для опытов при экспертизах, реконструкциях.