методичка_линейка _2_

в) (−1; − 3) г) (1; 3)

18. Найдите проекцию вектора AB на ось абсцисс, если A(1; 2; −1),

B(− 2; 2; 7).

Варианты ответов:

а) – 3 б) 0 в) 3

г) 3

19. Найдите угол между векторами a и b , если a = (− 2; 2; 1),

b = (0; 6; − 8).

Варианты ответов:

а) 45о

б) arccos 2

Тематика рефератов

1.Прикладное значение векторов.

2.Применение смешанного произведения для вычисления объемов тел.

3.Базис векторов.

80

ТЕМА 6 ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО RN

6.1. Основные понятия

Пусть V - произвольное непустое множество, элементы которого мы будем называть векторами, K – поле, элементы которого мы будем называть скалярами. Пусть на множестве V определена внутренняя бинарная алгебраическая операция, которую мы будем обозначать знаком «+» и называть сложением векторов. Пусть также на множестве V определена внешняя бинарная алгебраическая операция, которую мы будем называть умножением вектора на скаляр и обозначать знаком умножения. Другими словами определены два отображения:

операциями называется векторным пространством над полемК, если выполняются следующие аксиомы:

1. Сложение ассоциативно, т.е.

Вектор у, противоположный вектору х, обычно обозначается –х,

так что"x ÎV , $(-x)ÎV : x +(-x) = (-x)+ x = 0 .

4.Сложение коммутативно, т.е. x, y V , x + y = y + x .

5.Умножение вектора на скаляр подчиняется закону ассоциативности, т.е. α, β K, x V , (αβ ) x =α (βx),

где произведение αβ есть произведение скаляров, определенное в поле К.

6."xÎV, 1× x = x , где 1 - это единица поля К.

7.Умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно

сложения векторов: λ K, x, y V , λ(x + y) = λx +λy .

8. Умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения скаляров: λ, μ K, x V , (λ +μ)x = λx +μx .

81

Векторное пространство V над полем вещественных чисел R

называется вещественным векторным пространством.

Теорема. (Простейшие свойства векторных пространств.)

1.В векторном пространстве существует единственный нулевой вектор.

2.В векторном пространстве любой вектор имеет единственный противоположный ему.

3.λ K , x V , λx = 0 λ = 0 или x = 0 .

4.x V , (−1)x = −x .

Примеры векторных пространств.

1)Множество числовых вещественных функций одной переменной, непрерывных на интервале (0; 1) относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число.

2)Множество многочленов от одной буквы с коэффициентами из поля K относительно сложения многочленов и умножения многочленов на скаляр.

3)Множество комплексных чисел относительно сложения комплексных чисел и умножения на действительное число.

4)Множество матриц одного и того же размера с элементами из поля К относительно сложения матриц и умножения матриц на скаляр.

5)Пусть n N - произвольное натуральное число. Обозначим через K n множество всех столбцов высоты n, т.е. множество матриц

над полем K размера n ×1 . Множество K n является векторным пространством над полем К и называется арифметическим векторным пространством столбцов высоты n над полем K.

В частности, если вместо произвольного поля К взять поле действительных чисел R , то векторное пространство Rn называется вещественным арифметическим векторным пространством столбцов высоты n.

Аналогично, векторным пространством является и множество матриц над полем K размера 1×n или, иначе, строк длины n. Оно обозначается также через K n и также называется арифметическим векторным пространством строк длины n над полем K.

Системой векторов векторного пространства называют любое конечное непустое множество векторов этого пространства.

82

Обозначение: {e1 , e2 , ..., en } .

Выражение α1e1 +α2e2 +... +αnen , где α1 ,α2 ,...,αn Î K - скаляры

коэффициентами этой линейной комбинации.

Если все коэффициенты линейной комбинации равны нулю, то такую линейную комбинацию называют тривиальной, в противном случае – нетривиальной.

Пример. Пусть {e1 , e2 , e3} система из трех векторов векторного пространства V. Тогда

0 ×e1 + 0 ×e2 + 0 ×e3 – тривиальная линейная комбинация данной системы векторов; -e1 + 0 ×e2 + 0 ×e3 – нетривиальная линейная комбинация данной системы векторов, т.к. первый коэффициент этой комбинации α1 = -1 ¹ 0 .

Если какой-либо вектор х векторного пространства V может быть представлен в виде: x = α1e1 +α2e2 + ... +αnen , то говорят, что вектор х линейно выражается через векторы системы {e1 , e2 , ..., en } . В этом случае говорят также, что система {e1 , e2 , ..., en } линейно представляет вектор х.

Замечание. В этом и предыдущем определении слово "линейно" часто пропускают и говорят, что система представляет вектор или вектор выражается через векторы системы и т.п.

через столбцы системы или данная система столбцов линейно представляет столбец х. Действительно,

83

Так как произведение нулевого скаляра на любой вектор есть нулевой вектор и сумма нулевых векторов равна нулевому вектору, то для любой системы векторов выполняется равенство 0 ×e1 + 0 ×e2 +... + 0 ×en = 0 .Отсюда следует, что нулевой вектор линейно

выражается через векторы любой системы векторов или, говоря иначе, любая система векторов линейно представляет нулевой вектор.

0 столбец 0 можно линейно выразить через столбцы системы не

одним способом:

{e1 , e2 , ..., en } представляет нулевой вектор тривиально. Если же в

{e1, e2 , ..., en} представляет нулевой вектор нетривиально.

Из последнего примера мы видим, что существуют системы векторов, которые могут представлять нулевой вектор нетривиально. Из следующего примера мы увидим, что существуют системы векторов, которые не могут представлять нулевой вектор нетривиально.

векторного пространства R2 . Рассмотрим равенство:

84

умножения столбца на скаляр (число) и сложения столбцов,

Таким образом, данная система не может представлять нулевой столбец нетривиально.

Из приведенных примеров следует, что существует два вида систем векторов. Одни системы представляют нулевой вектор нетривиально, а другие нет. Отметим еще раз, что любая система векторов представляет нулевой вектор тривиально.

Система векторов векторного пространства, которая представляет нулевой вектор только тривиально называется

линейно независимой.

Система векторов векторного пространства, которая может представить нулевой вектор нетривиально называется линейно

зависимой.

Теорема.(Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов.)

Система векторов векторного пространства является линейно зависимой тогда и только тогда, когда один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы.

Следствие.

1.Система векторов векторного пространства является линейно независимой тогда и только тогда, когда ни один из векторов системы линейно не выражается через другие вектора этой системы.

2.Система векторов, содержащая нулевой вектор или два равных вектора, является линейно зависимой.

Теорема (О линейной зависимости системы из одного вектора).

Система, состоящая из одного вектора является линейно зависимой тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.

Следствие. Система, состоящая из одного вектора является линейно независимой тогда и только тогда, когда этот вектор ненулевой.

85

Теорема. Система ненулевых векторов линейно зависимая тогда и только тогда, когда найдется вектор системы, который линейно выражается через предыдущие векторы этой системы.

Любое непустое подмножество системы векторов {e1 , e2 , ..., en } называется подсистемой данной системы векторов.

Пример. Пусть {e1 , e2 , ..., e10 } – система из 10 векторов. Тогда

системы векторов: {e1 , e10 } ; {e1 , e2 , .e3}, {e4 , e7 , e8 , e9} – подсистемы данной системы векторов.

Теорема. Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то сама система векторов тоже линейно зависима.

Следствие. Любая подсистема линейно независимой системы векторов является линейно независимой.

Теорема

1)Система столбцов является линейно зависимой тогда и только тогда, когда в системе найдется хотя бы один столбец, который линейно выражается через другие столбцы данной системы.

2)Система столбцов является линейно независимой тогда и только тогда, когда ни один столбец системы линейно не выражается через другие столбцы данной системы.

3)Система столбцов, содержащая нулевой столбец является линейно зависимой.

4)Система столбцов, содержащая два равных столбца является линейно зависимой.

5)Система столбцов, содержащая два пропорциональных столбца является линейно зависимой.

6)Система столбцов, содержащая линейно зависимую подсистему, является линейно зависимой.

7)Любая подсистема линейно независимой системы столбцов является линейно независимой.

так как ее первые два столбца пропорциональны.

Замечание. Мы уже знаем, что определитель равен нулю, если система его столбцов (строк) является линейно зависимой. В дальнейшем будет доказано, что верно и обратное утверждение: если определитель равен нулю, то система его столбцов и система его строк являются линейно зависимыми.

Система векторов векторного пространства V над

полем К называется порождающей (образующей) системой векторов этого векторного пространства, если она представляет любой его вектор, т.е. если x V найдется такой набор скаляров

α1, ..., αn K , что x =α1e1 +α2e2 +... +αnen .

Система векторов векторного пространства называется

минимальной порождающей системой, если при удалении из этой системы любого вектора она перестает быть порождающей системой.

Замечание. Из определения сразу же следует, что если порождающая система векторов не является минимальной, то найдется хотя бы один вектор системы, при удалении которого из системы, оставшаяся система векторов по прежнему будет порождающей.

Лемма (О линейно зависимой порождающей системе.)

Если в линейно зависимой и порождающей системе векторов один из векторов линейно выражается через другие, то его можно удалить из системы и оставшаяся система векторов будет порождающей.

Следствие 1. Линейно зависимая и порождающая система векторов не является минимальной.

Следствие 2. Минимальная порождающая система векторов является линейно независимой.

Система векторов векторного пространства называется

максимальной линейно независимой системой, если при добавлении к этой системы любого вектора она становится линейно зависимой.

87

Замечание. Из определения сразу же следует, что если система является линейно независимой, но не максимальной, то найдется вектор, при добавлении которого к системе, получается линейно независимая система.

6.2. Размерность и базис векторных пространств

Базисом векторного пространстваV над полем K называется упорядоченная система его векторов, представляющая любой вектор векторного пространства единственным способом.

Иначе говоря, система векторов векторного пространства V над полем K называется его базисом, если x V существует единственный набор скаляров α1 , ..., αn K , такой, что

x =α1e1 +α2e2 +... +αnen .

Теорема.(О четырех равносильных определениях базиса.) Пусть {e1 , e2 , ..., en } – упорядоченная система векторов

векторного пространства. Тогда следующие утверждения равносильны:

1. Система {e1 , e2 , ..., en } является базисом.

2.Система {e1, e2 , ..., en} является линейно независимой и порождающей системой векторов.

3.Система {e1 , e2 , ..., en} является максимальной линейно независимой системой векторов.

4.Система {e1 , e2 , ..., en } является минимальной порождающей системой векторов.

Теорема. (О числе векторов в линейно независимых и порождающих системах векторов.)

Число векторов в любой линейно независимой системе векторов не превосходит числа векторов в любой порождающей системе векторов этого же векторного пространства.

Теорема.(О количестве векторов в базисе.)

В любом базисе векторного пространства содержится одно и тоже число векторов.

88

Размерностью векторного пространстваV над полем K

называется число векторов в его базисе. Обозначение: dimK V или

dim V .

Векторное пространство V называется конечномерным, если оно обладает конечной порождающей системой векторов.

Теорема. (О существовании базиса конечномерного векторного пространства.)

Любое конечномерное векторное пространство обладает базисом.

Лемма.

Пусть dimV = n . Тогда:

1.Любая система из n +1 вектора является линейно зависимой.

2.Любая линейно независимая система из n векторов является его базисом.

Теорема (О дополнении до базиса.)

Любая линейно независимая система векторов векторного пространства может быть дополнена до базиса этого пространства.

Пример.

1. Пусть К - произвольное поле, K n - арифметическое векторное пространство столбцов высоты n . Тогда dim K n = n .

Пример. Найти формулы преобразования координат при переходе от базиса

e1 = (1,0,0,0), e2 = (0,1,0,0), e3 = (0,0,1,0), e4 = (0,0,0,1)

к базису

e1′ = (1,1,0,0), e′2 = (1,0,1,0), e3′ = (1,0,0,1), e′4 = (1,1,1,1).

Решение.

Составим матрицу перехода Т.

Вданном случае координаты векторов e′k , равны

коэффициентам их разложений базиса {ek }, поэтому имеем

2.Определим формулы преобразования координат.

89