Добавил:

Upload2020 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет экономики и торговли им. М. Туган-Барановского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

методичка_линейка _2_

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.11.2020

Размер:

1.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

в) элементы второй строки умножить на (-2/3) и прибавить к третьей; г) элементы третьей строки умножить на (-3/2) и прибавить ко второй;

д) другой ответ

9.Для решения системы уравнений, содержащих 4 неизвестных целесообразно применять Варианты ответов:

а) метод Гаусса б) метод Крамера

в) метод обратной матрицы г) метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы д) другой ответ.

10.Метод обратной матрицы невозможно использовать, если: Варианты ответов:

а) применим метод Крамера, б) определитель матрицы равен нулю,

в) определитель матрицы не равен нулю, г) применим метод Гаусса, д) другой ответ.

Тематика рефератов

1.Использование систем линейных уравнений в математическом моделировании.

2.Исследование методов решения систем линейных уравнений.

3.Вклад Габриэля Крамера в изучение систем линейных уравнений.

ТЕМА 3 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

3.1. Основные понятия

Комплексным числомz называется упорядоченная пара чисел (а,b), над множеством которых по определенным правилам можно производить следующие операции: сложение, умножение, деление, возведение в степень, результаты которых также являются комплексными числами.

Алгебраической формой комплексного числа z называется

выражение z = a + ib , где aи b	– действительные числа, i –
мнимая единица, которая определяется соотношением:
i 2 = −1;	i =
		−1.	(3.1)

При этом число a называется действительной частью числа z

(a = Rez), а b- мнимой частью (b = Imz).

Если a =Rez =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Imz = 0, то число z будет действительным.

Числа z = a +ib и z = a − ib называются комплексно –

сопряженными.

Два комплексных числа z1 = a1 +ib1 и z2 = a2 +ib2 называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:

a1 =a2 ; b1 =b2 ;

Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.

a =b =0.

Комплексное число представляется точкой на плоскости (комплексной плоскости z), координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью.

A(a, b)

0a x

Рис. 3.1. Графическое представление комплексных чисел

Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа a, а на оси ОY – чисто мнимые - b.

С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.

Тригонометрическая форма числа.
Из	геометрических	соображений	видно,	что
a = r cos ϕ;	b = r sin ϕ. Тогда	комплексное	число	можно
представить в виде:

z = a + ib = r cos ϕ + ir sin ϕ = r(cos ϕ + i sin ϕ)	(3.2)

Такая форма записи называется тригонометрической

формой записи комплексного числа.

При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона ϕ -аргументом комплексного числа.

r =		z		;	ϕ = Arg z .	(3.3)

Из геометрических соображений видно:

		=		; ϕ = Arg z = arctg	b
r =	a + ib		a 2 + b 2			;

					a
					a	(3.4)

Очевидно, что комплексно – сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы.

z = z ; Arg z = −Arg z.

(3.5)

3.2. Действия с комплексными числами

Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.

1)Сложение и вычитание.

z = z1 ± z2 = (a1 + ib1 ) ± (a2 + ib2 ) = (a1 ± a2 ) + i(b1 ± b2 )

(3.6)

z= (a1 ± a2 )2 + (b1 ± b2 )2

2)Умножение.

z = z z	2	= (a + ib )(a		2	+ ib ) = a a		2	+ ia b + ib a			2	+ i 2b b
1	2	1	1	2	2	1	2	1	2	1	2	1	2
z = z1 z2		= (a1 a2 − b1b2 ) + i(a1b2 + b1 a2 )											(3.7)
													(3.7)

В тригонометрической форме:

z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) , z2 = r2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ).

z = z1 z2 = r1 r2 (cos(ϕ1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ 2 ))

(3.8)

Вслучае комплексно – сопряженных чисел:

zz= (a + ib)(a − ib) = a 2 + b 2 = z 2 = z 2 .

3)Деление.

z =

a1 + ib1

= x + iy

+ ib2

z =

(a1 + ib1 )(a2

− ib2 )

(a1a

2 + b1b2 ) + i(a2b1 − a1b2 )

+ ib

)(a

− ib

)

a 2

+ b 2

z =

a1a2 + b1b2

+ i

a2b1 − a1b2

a22

+ b22

a22

+ b22

(3.9)

В тригонометрической форме:

z =

(cos(ϕ1 − ϕ 2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ 2 ))

(3.10)

4)Возведение в степень.

Из операции умножения комплексных чисел следует, что

z 2

= zz = r

2 (cos 2ϕ + i sin 2ϕ)

(3.11)

В общем случае получим:

z n

= r n (cos nϕ + i sin nϕ) ,

где n – целое положительное число.

Это выражение называется формулой Муавра.

Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов.

5)Извлечение корня из комплексного числа.

w = e z ;

n	z	= n	r(cosϕ+i sin ϕ)	= ρ(cosψ +i sin ψ)	(3.12)
					(3.12)
Возводя в степень, получим:

ρn (cos nψ + i sin nψ) = r(cosϕ+ i sin ϕ)

Отсюда: ρ = n

;

nψ = ϕ + 2πk;

k Z.

ϕ + 2πk

z = n r(cos ϕ + i sin ϕ) =

+ i sin

r cos

(3.13)

Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

3.3. Показательная форма комплексного числа

Рассмотрим показательную функцию z = x + iy. Можно показать, что функция w может быть записана в виде:

w = ex+iy = e x (cos y + i sin y)

Данное равенство называется уравнением Эйлера.

Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства:

1) ez1 +z2 = ez1 ez2 ;
		z1
2)	e z1 −z2 =	e	;
2)	e z1 −z2 =	z2	;
		e
3)	(e z )m = emz ;			(3.14)

где m – целое число.

Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0), то получаем:

eiy = cos y +i sin y	(3.15)

Для комплексно – сопряженного числа получаем:
e−iy = cos y − i sin y				(3.16)
				(3.16)
Из этих двух уравнений получаем:
			eiy + e−iy
cos y =
cos y =			2
			2
		eiy − e−iy
sin y =		eiy − e−iy
sin y =
			2i
			2i	(3.17)
				(3.17)
	44

Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов.

Если представить комплексное число в тригонометрической форме: z = r(cos ϕ + i sin ϕ) и воспользоваться формулой Эйлера, получим

						z = reiϕ	(3.18)
							(3.18)
		Полученное равенство и есть показательная форма
комплексного числа.
					Пример.
		1. Найти сумму комплексных чисел z1 = 3 – i и					z2 = – 4 + 2i .
z1 + z2 = ( 2 + (–1)×i) + (–4 + 3i)					=	( 3 + (–4)) + ((–1) + 2 )i = 2 - 2i.
		2.	Найти	произведение		комплексных чисел	z1 =1 – 3i и
z2 = –2			+ 3i.
z × z	2	= ( 1 – 3i)		× (–2 + 3i)	= 1 ×(–2) + 1 ×3i + ( - 2) ×(-3i) + (-3i) ×3i =
1	2

= 7 + 9i

(2 −i)

3. Найти частное (3 − 4i)

Для нахождения частного данных комплексных чисел умножим и разделим числитель и знаменатель на комплексно сопряженное знаменателю, то есть на (3 + 4i):

(2 - i)	=	(2 - i)(3 - 4i)	=	2 -11i	=	2	-	11	i .
(3 - 4i)
	32 + 42		25		25 25

4.Решить уравнение: x −(2 −i)(x −yi) =1+3i , x и y R. x −((2x −y) +(−x −2y)i) =1+3i

(−x + y) + (x + y)i =1 + 3i.

В силу равенства комплексных чисел имеем:

−x + y =1,

x + y =3,

откудаx = 1 , y= 2.

5. Вычислить: i2 ,i3 ,i4 ,i5 ,i6 ,i−1, i−2.

i 2

= i ×i = -1

= i 2 ×i = -i

i 4 = i3 ×i = -i ×i = -(-1) = 1

= i 4 ×i = i

i 6 = i5 ×i = i ×i = -1

i −1

= -i

i ×i

i −2

= -1.

i 2

6. Вычислить z−3 , если z =1 +2i .

−3

−11+2i

=(1+2i)

(1+2i)3

1+6i +12i2 +8i3

−11−2i

(−11)2 +(−2)2

−11+2i

=−

125

125 125

7. Вычислить число z−1

обратное числу z = 2 −i .

z−1 =

2 +i

i .

2 2

2 −i

(2 −i)(2 +i)

5 5

Пример.

1. Найти модуль комплексных чисел z1 = 6 – 8i и z2 = 2 + 2i .

62 +(−8)2

r =

= 100 =10

;

r2 =

= 22 +22 = 8 = 2 2 .

1) z1 = 1 +

Пример.

Найти модуль

и аргумент чисел:

;

z2 = 2 +2i .

1) z1 =1 +

; a = 1 , b =

r1 = 12 + (

)3 =

= 2 ,

cos ϕ1

cos ϕ1 =

π + 2πκ, κ Ζ

φ =

sin ϕ1

2) z2 = 2 + 2i; a = 2,b = 2 r2 =22 +22 =22 ,


		2			2
		2			2
cosφ =				=


2
	2	2			2		π
	2	2			2	φ2 =	π	+2πκ, κ Ζ. (3.19)



		2			2		4
		2			2		4
sin φ2	=		=

		2			2
	2	2			2

Используя формулы				a = r cosϕ,		b = r sin ϕ можно перейти от

алгебраической формы записи комплексных чисел к тригонометрической форме (формула Муавра):

z = a + bi = r cos ϕ+i sin ϕ = r(cos ϕ +i sin ϕ) . (3.20)

Комплексные числа в тригонометрической форме равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на целое число кратное 2π.

Пример. Записать числа в тригонометрической форме.

1)	z1 =		1					+			3				i , 2)					z2 = −			1	+			3			i , 3)		z3	= −		1	−	3	i , 4)	z4	=	1	−	3	i .
1)	z1 =							+				2			i , 2)					z2 = −				+						i , 3)		z3	= −			−		i , 4)	z4	=		−		i .
		2										2								2								2						2		2				2		2
		Решение.

																													2			2
				1										3
	z =								+																	1					3
																	i		r =		z	=				1				+	3		=1
1)																	i	,	r =		z	=								+			=1	,
1)	1																	,			1													,
		2											2												2						2
		1
													1
cos ϕ1		=					2			=			1
							2																					π
													2
		1											2							ϕ1					=
																												3 .
						3


sin ϕ =					2								=			3
					2

	1	1														2
		1														2

(За значение угла берем наименьшее неотрицательное из возможных значений аргумента.)

			Таким образом:															z1 = cos π +i sin π .
																				3							3
																			=		2π								2π						2π
2)	z2		=−				1		+i					3		, r2 =1	,	φ2			2π			,	z2		= cos					+i sin					.

											2																							3
			2								2									3							3							3
																		φ3 =		4π								4π							4π
3)	z3		=−			1			−				3		i, r3 = 1		,			4π			,		z3		= cos	4π			+i sin				4π			.
3)	z3		=−						−		2				i, r3 = 1		,			3			,		z3		= cos				+i sin							.
			2								2									3							3							3
																				=		5π				z4 = cos				5π			+i sin			5π			.
4)	z		=	1	−					3		i, r = 1 , ϕ = φ										5π			,					5π						5π
4)	z	4	=		−							i, r = 1 , ϕ = φ							4						,
		4	2					2			4							4	4	3							3							3
			2					2												3							3							3
																									47

Пример.

1) Выполнить умножение

z = 2(cos π		+i sin π ),	z	2	= 3(cos π	+i sin π )
1	4	4			3	3

z × z		= 6(cos(π		+ π ) + i sin(π + π )) = 6(cos								7π		+ i sin	7π			) .
z × z	2	= 6(cos(π		+ π ) + i sin(π + π )) = 6(cos										+ i sin				) .
1	2		4	3			4	3			12			12
			4	3			4	3			12			12
2) Вычислить: (1+i)20 .
			π		π				20				π			π		20
			π		π								π			π		20

1+i = 2(cos				+i sin		),	(1+i)			=	2(cos			+i sin			)		=
			4		4								4	4
			4		4								4	4

)20

(cos

30π

+i sin

30π

) =210 (cos

3π

+i sin

3π

Пример.

z1 =

3(cos π + i sin π ),

z2 = 4(cos

7π

+i sin

7π

) . Найти частное. Решение.

z =

(cos(

−

7π

) +i sin(

−

7π

)) =

(cos

6π

−i sin

6π

) =

= 3 (cos 2π−i sin 2π) 4

Пример.

Найти: 1) 4 1 , 2) 3 i , 3) 3 1 .

Решение.

uk = 4

= 4

1(cos

0 + 2πk

+ i sin

0 + 2πk

k {0, 1, 2, 3},

1(cos0 + i sin 0)

u0 = cos0 +isin0 = 1 ,

= cos p + i sin

= i

= cos p + i sin p = -1 ,

= cos

3π

+ i sin

3π

= −i .

π + 2πk

= 3 1× (cos π + i sin π ) = 3

uk = 3

1(cos

+ i sin

) =

= cos

π + 4πk

+ i sin π + 4πk , k = 0, 1,

= cosπ +i sin π =

(

+i) ,

= cos

5π

+i sin

5π

(−

+i),

= cos

9π

+i sin

9π

= cos

3π

+i sin

3π

= −i.

uk = 3

= 3

= cos

2πk

+ i sin

2πk

, k = 0, 1, 2.

1× (cos 0 + i sin 0)

2π × 0

= cos

+ i sin

= 1,

2π ×1

= cos

+ i sin

= -

+ i

2π × 2

= cos

+ i sin

= -

- i

Пример.

1. Найти показательную форму чисел:

а) z1 = 1 +i ; б) z2 = −

−i .

Решение.

φ = arg z1 = π ,

z1 =1 +i =

i π

а)

r =

= 2 ,

2e 4 .

7πi

r =

= 2,

ϕ = arg z2

7π

z2 = −

−i = 2e

б)

2. Найти алгебраическую форму чисел:

πi

а) z1 = 2e 3 , б) z2 = 3e− 6 , в) z3 = e−3+4i .

Решение.

	πi
а)	z1 = 2e 3
	−πi
б)	z2 = 3e 6

в) z3 = e−3+4i

= 2(cos p + i sin p) = 2(						1	+		3	i) = 1 +
						1			3					3i ,
								2						3i ,
3			3		2			2
		p			p
		p			p					3		i		3 3		3i
= 3(cos -			+ i sin	-		) = 3(					-		) =		-		,
= 3(cos -			+ i sin	-		) = 3(					-		) =		-
		6			6					2 2				2		2
= e−3 ×e4i	= e−3 (cos4 + i sin 4) » 0.05(-0.65 - 0.76i) » -0.03 - 0.038i .

3. Найти			z1z2 и			z1	, результат записать в тригонометрической
3. Найти			z1z2 и			z2	, результат записать в тригонометрической
						z2
форме:
	2i			i			z1 = e3−7i , z2 = e−4+5i .
а) z1 =3e	5	, z2 =5e		6	; б)		z1 = e3−7i , z2 = e−4+5i .
							49

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.20201.52 Mб17методичка_линейка _2_.pdf
#
03.11.202055.57 Кб2ссылки.pdf