методичка_линейка _2_

Если вектор OM = (x, y, z ), то направляющие косинусы этого вектора могут быть найдены по формулам:

Для них верно соотношение

cos2 α + cos2 β + cos2 γ =1 .

Пример. Найти длину и направление вектора r = 3i −5 j + 4k

Решение.

Длина вектора:

r = x2 + y2 + z 2 = 32 + (−5)2 + 42 = 9 + 25 +16 = 50 = 52 .

Направляющие косинусы определяют направление вектора, найдем его:

5.3. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов a и b

называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла ϕ между ними, т.е.

a ×b = a × b cosϕ .

Скалярное произведение можно рассматривать как произведение модуля одного из векторов и проекции другого вектора на него, т.е.

Свойства скалярного произведения

1.a ×b = b × a – переместительный закон.

2.(α × a )b = α × (a ×b ) – сочетательный закон.

3.(α × a )× (β ×b )= (α × β )× (a ×b ).

4.a (b + c )= a b + a c – распределительный закон.

70

Следовательно, ϕ = 60 o .

Пример. Даны векторыa = (2; −3m; 1) и b = (- m; 4; 28). При каком значении m эти векторы перпендикулярны?

Решение.

Из свойства 6 скалярного произведения векторов следует, что для того чтобы векторы a и b были перпендикулярны, необходимо, чтобы a ×b = 0 . Найдем скалярное произведение векторов a и b :

a ×b = 2 ×(- m)- 3m × 4 +1× 28 = -2m -12m + 28 = -14m + 28,

−14m + 28 = 0 .

Откуда m = 2 .

Пример. Найти вектор c , коллинеарный вектору a = (1; − 2; 5) и удовлетворяющий условию a × c = -60 .

Решение. Так как вектор c коллинеарен вектору a , то его координаты пропорциональны и могут быть следующими: c = (1k; − 2k; 5k ). Тогда скалярное произведение этих векторов

a ×c =1k - 2(- 2k )+ 5 ×5k = k + 4k + 25k = 30k ,

а по условию a × c = -60 , откуда30k = −60 , т.е. k = −2 . Следовательно, координаты вектора c = (− 2; 4; −10).

Пример. Какой угол образуют единичные векторы p и q , если векторы a = p − q и b = 2 p + 3q взаимно перпендикулярны.

Решение.

Так как векторы a и b взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т.е.

a ×b = (p - q )(2 p + 3q ) = 2 p × p - 2q × p + 3 p ×q - q ×3q = = 2 p 2 + p × q - 3 q 2 = 0.

По условию задачи векторы p и q единичные, т.е. p = q =1, тогда последнее соотношение можно переписать иначе:

2 p 2 + p × q - 3 q 2 = 2 ×1 + p × q - 3 ×1 = p × q -1 = 0 .

72

Откуда p × q =1.

По формуле скалярного произведения двух векторов p × q = p × q cosϕ ,

где ϕ – угол между векторами p и q . Тогда

cosϕ = p ×× q = 1. p q

Следовательно, угол ϕ = 0o (векторы коллинеарны).

5.4. Векторное произведение

Векторным произведением вектора a на вектор b

называется вектор c , который удовлетворяет следующим условиям:

же, как координатная ось Oz относительно координатных осей Ox и Oy . Т.е. вектор c направлен таким образом, что кратчайший

поворот от a кb виден из его конца совершающимся против часовой стрелки.

Векторное произведение обозначается [a ×b ] или a ×b .

Свойства векторного произведения

1. Векторное произведение a на b есть вектор, обратный векторному произведению b на a , т.е. [a ×b ]= -[b × a ].

2.[(λ × a )b ]= [a (λ × b )]= λ × [a ×b ] – сочетательный закон.

3.[a (b + c )]= [a ×b ]+ [a × c ]; [(a + b )c ]= [a × c ]+ [b × c ]

распределительный закон.

4. Векторное произведение двух векторов обращается в ноль тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны.

Замечание. В частности, равно нулю и векторное произведение одинаковых множителей, т.е. [a ×a ]= 0 . Поэтому понятие векторного квадрата не употребляется.

73

[b × d ]= (- 4; 2;1).

Решение. Упростим:

m= [(2a + 5b )(3c + 4d )]= [(2a + 5b )(3c )]+ [(2a + 5b )(4d )]=

=[(2a )(3c )]+ [(5b )(3c )]+ [(2a )(4d )]+ [(5b )(4d )]=

=6[ac ]+15[b c ]+ 8[ad ]+ 20[b d ]= -6[ca ]+15[b c ]+ 8[ad ]+ 20[b d ]=

=(6; - 6; 0)+ (30; 15; 15)+ (8; - 24; 16)+ (- 80; 40; 20)= (- 36; 25; 51).

Пример. Найти синус угла ϕ между векторами a = (2; 5; 7) и b = (1; 2; 4).

Решение. Из определения векторного произведения