методичка_линейка _2_

Пример

По чертежу запишите уравнение кривых:

y

0

−3

x =5

Рис. 8.13. Графическое представление уравнения

Решение:

Это парабола.

Ось симметрии еёx=5(прямая параллельная оси OY), поэтому “y” входит в уравнение в 1-ой степени.

Вершина параболы лежит в точке O′(5;−3).

Ветви параболы направлены в положительном направлении оси симметрии.

Таким образом имеем уравнение кривой:

следовательно, её координаты удовлетворяют уравнению параболы:

12

O′

−9 −4 0 1

Рис. 8.14. Графическое представление уравнения

Решение:

Это гипербола.

Оси симметрии x=4 иy=7(мнимая). Центр лежит в т. O′(− 4;7). Полуоси: a=5; b=5

Таким образом имеем уравнение:

(x + 4)2 − (y − 7)2 = −1 25 25

3

0

−3

Рис. 8.15. Графическое представление уравнения

121

Решение:

Это гипербола.

O′(2;−1); a = 2; b = 1(мнимая)

24

−1

− 2

Рис. 8.16. Графическое представление уравнения

122

Это окружность

O′(1;−3); R = 1

1 2

− 2

−3

O′

− 4

Рис. 8.17. Графическое представление уравнения

Это парабола.

O′(3;−5); y = −5 -ось симметрии.

y

03

x

−5 O′

−9

123

Рис. 8.18. Графическое представление уравнения

Чтобы найти точки пересечения параболы с осью надо решить систему:

−5 + 18 ≈ −5 + 4.2 = −0.8

−5 − 18 ≈ −5 − 4.2 = −9.2

Это эллипс.

O′(2;−1); a = 2; b = 1

124

8.4. Общее уравнение кривой II порядка

Если в уравнениях кривых: эллипса, гиперболы и параболы, с осями симметрии параллельными осям координат раскрыть скобки, то все они могут быть приведены к пятичленному уравнению 2-го порядка, которое имеет вид:

И называется общим уравнением кривой 2-го порядка. Проанализировав отличие друг от друга уравнений вида (1)

для эллипса, гиперболы и параболы, можно увидеть, что в случае эллипса - знаки коэффициентов A и C одинаковы, в случае гиперболы - знаки коэффициентов A и C различны, и в случае параболы один из квадратов отсутствует, что влечёт за собой равенство нулю соответствующего коэффициента A или C (одновременно A и C нулю равны быть не могут, иначе получается уравнение 1-го порядка, т.е. уравнение прямой).

Таким образом, произведение AC определяет кривую, уравнение которой имеет вид (1).

Для эллипса AC>0;

Для гиперболы AC<0;

Для параболы AC=0;

Рассмотрим обратную задачу.

В декартовой прямоугольной системе координат дано уравнение:

Ax 2 + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (8.5)

Для построения кривой и полного представления о том, как она расположена на плоскости, необходимо привести уравнение (4) к каноническому виду, т.е. выделить полные квадраты в этом уравнении.

Например, приведём уравнение 2x 2 + y 2 + 20 x + 8 y + 2 = 0 к каноническому виду.

125

Решение:

2x 2 + y 2 + 20x + 8 y + 2 = 0 2(x 2 -10x)+ (y 2 + 8 y)+ 2 = 0

2(x 2 - 2 × x × 5 + 25 - 25)+ (y 2 + 2 × y × 4 +16 -16)+ 2 = 0 2(x - 5)2 + (y + 4)2 = 64

следующим семи типам линий второго порядка: эллипсы, гиперболы, параболы, пары пересекающихся прямых, точки, пары параллельных прямых, пары совпадающих прямых.

Пример

Какое геометрическое место точек задано уравнением

y = − 5 9 − x 2 ?

3

Решение:

Так как правая часть уравнения не положительна, то и y ≤ 0 , следовательно, это уравнение равносильно системе :

это множество точек эллипса, у которых y ≤ 0 , т.е. нижняя половина эллипса.

126

5

0

−5

Рис. 8.19. Графическое представление уравнения

Пример

По данному уравнению определите тип кривой. Приведите уравнение к каноническому виду, постройте кривую на плоскости XOY. Найдите координаты фокусов. Составьте уравнения асимптот для гиперболы:

2x 2 − y 2 + 8x + 4 y + 8 = 0 x 2 + 6x −16 y + 25 = 0

4x 2 − 3 y 2 − 32 x −12 y + 52 = 0 4x 2 + 9 y 2 +12x − 6 y +10 = 0

Решение:

A = 2; C = −1; AC = −2 < 0

Дано уравнение кривой гиперболического типа. Приводим уравнение к каноническому виду.

127

2(x2 + 4x)- (y 2 - 4y)+ 8 = 0,

2(x2 + 2x × 2 + 4 - 4)- (y 2 - 2 y × 2 + 4 - 4)+ 8 = 0 2(x + 2)2 - 8 - (y - 2)2 + 4 + 8 = 0

2(x + 2)2 - (y - 2)2 = -4

получили каноническое уравнение гиперболы. O′(− 2;2)- центр симметрии кривой;

a = 2 ; b = 2; c = 2 + 4 = 6

F2

Рис. 8.20. Графическое представление уравнения

Уравнения асимптот:

y − y0 = ± b (x − x0 ); a

128

A = 1; C = 0; AC = 0

Дано уравнение кривой параболического типа. Приводим уравнение к каноническому виду.

(x 2 + 6x)-16 y + 25 = 0,

(x 2 + 2x × 3 + 9 - 9)-16 y + 25 = 0,

получили каноническое уравнение параболы.

y

1

x

−3

y = −3

25

M 0; ;

16

Рис. 8.21. Графическое представление уравнения

129