методичка_линейка _2_

принимает вид: Ax + D = 0 . В этом случае плоскость параллельна координатной оси y0z .

R

2. N j : проводя аналогичные рассуждения, получаем: By + D = 0 ,

плоскость параллельная оси x0 z .

R

3.N k : Cz + D = 0 , плоскость параллельная оси x0 y .

4.N ^ i : вектор нормали лежит в плоскости y 0 z , следовательно,

плоскость параллельна оси x . В этом случае A = 0 , так как (N , i )= A ×1 + B × 0 + C × 0 = A .

5.N ^ j : B = 0 , параллельна оси y .

6.N k : C = 0 , параллельна оси z.

7.R : это возможно лишь в случае, когда плоскость проходит

N r0

M 0 (−1,2,3) параллельно плоскости 2 x − y + 2z − 8 = 0 .

Решение:

1)У параллельных плоскостей – общая нормаль, следовательно, для искомой плоскости нормаль N = {2,−1,2} .

140

принадлежащей искомой плоскости и нормаль к ней. Точка M 0 –

известна, осталось найти нормаль.

2)Так как по условию, искомая плоскость должна быть параллельна векторам, то ее нормаль должна быть к ним

N = {8,3,−10} .

4)Подставляем найденные координаты и координаты

получим

Пример.

Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки с

координатами M 0 (1,−2,3) , M 1 (−1,2,2) , M 2 (−3,4,−5) .

Решение:

1)Проведем к точкам соответствующие радиус-векторы: r0 , r1

и r2 .

2) Очевидно, что вектора r1 − r0 и r2 − r0 будут лежать в одной

плоскости и задача сводится к задаче, приведенной в предыдущем примере.

3) Координаты векторов:

r1 − r0 = {( −1) −1,2 − (−2),2 − 3} = {−2,4,−1}

r2 − r0 = {−3 −1,4 − (−2),−5 − 3} = {−4,6,−8}

Найдем координаты нормали:

141

Пример.

Написать уравнение плоскости, проходящей через две точки M 0 (1,2,3) , M 1 (4,−1,−3) перпендикулярно плоскости x + y + z +1 = 0 .

4) Подставим в общее уравнение плоскости найденные значения координат нормали и фиксированной точки:

1×( x -1) - 3 ×( y - 2) + 2 ×(z - 3) = 0 .

нахождения угла между плоскостями:

A : B : C = 2 : (−1) :1, откуда в качестве координат нормали возьмем

N = {2,-1,1}.

Уравнение плоскости запишется в виде:

2 × ( x - 2) + (-1) × ( y -1) +1× ( z - 0) = 0 .

9.2. Прямая в пространстве

Прямая в пространстве образуется пересечением двух плоскостей (если их нормали не параллельны), таким образом, прямую в пространстве можно задать системой уравнений:

143

точки этой прямой можно записать параметрическое уравнение:

Через прямую в пространстве проходит бесконечно много разных плоскостей, поэтому прямую можно определить системой уравнений бесконечно многими способами.

Чтобы перейти от общего уравнения к параметрическому или каноническому, нужно найти фиксированную точку и направляющий вектор.

Так как прямая задана двумя уравнениями с тремя неизвестными, то одну из координат можно положить равной любому числу (проще всего нулю), затем решить систему относительно оставшихся двух неизвестных. Может случиться так, что система окажется несовместной, то есть на прямой нет точки с

144

такой координатой. В этом случае полагаем другую координату равной нулю (или некоторому числу), и вновь решаем систему относительно двух оставшихся неизвестных.

Направляющий вектор находится как векторное

произведениеl =[N1, N2 ].

Пример.

Написать канонические и параметрические уравнения прямой, образованной пересечением плоскостей x + y + z +1 = 0 и

2 x − 3 y − 2z −8 = 0 .

Решение:

1)Найдем координаты фиксированной точки. Из исходной системы

нашли координаты фиксированной точки M 0 (1,−2,0) .

2) Направляющий вектор определяется как векторное произведение нормалей двух плоскостей, образующих прямую:

получается нуль, полагают равным нулю числитель, то есть одна из

Решение:

1)Для определения расстояния необходимо знать координаты фиксированной точки прямой и ее направляющий вектор, что можно определить сразу из заданного уравнения прямой:

r− r0 = {−1,3,2}.

3)Найдем векторное произведение:

146

Пример.

Найти точку пересечения плоскости x + y + 3z −1 = 0 с прямой,

заданной каноническими уравнениями: x +1 = y − 2 = z .

1 1 2

Решение: можно было бы перейти от канонических уравнений к общему виду и свести задачу к рассмотренной в предыдущем примере. Но можно рассуждать и по-другому. Точка пересечения должна принадлежать и прямой и плоскости, то есть можно подставить выражения для x, y, z из канонического уравнения

в уравнение плоскости и определить их.

Перейдем к параметрическим уравнениям прямой: x +1 = y − 2 = z = t , откуда x = t −1 , y = t + 2 , z = 2t .

11 2

Подставим найденные выражения в уравнение плоскости:

(t -1) + (t + 2) + 3 × 2t -1 = 0 , откуда t = 0 .

Подставляем в выражения для x, y , z , находим ответ: x = -1 , y = 2 , z = 0 .

Контрольные вопросы к теме

Запишите уравнение плоскости в общей форме. Запишите уравнение плоскости в отрезках.

По какой формуле можно вычислить расстояние от точки до плоскости?

По какой формуле вычисляется угол между плоскостями?

Запишите общее уравнение прямой. Запишите параметрическое уравнение прямой. Запишите каноническое уравнение прямой.

147

С помощью какой формулы можно найти расстояние от точки до прямой?

Сколько плоскостей проходит через прямую в пространстве?

Как определяется направляющий вектор прямой?

Задания для самостоятельной работы

Найти длину ребра АВ Написать уравнение плоскости, содержащей грань АВС Найти площадь грани АСВ Написать уравнение прямой АС

Написать уравнение высоты, опущенной из вершины D Найти угол между гранями АСВ и АСD

Найти угол между ребрами DС и DА Найти объем тетраэдра АВСD

Найти проекцию вершины D на грань АВС

Найти точку пересечения медиан треугольника АВС Найти угол между ребром АD и гранью АВС

Написать уравнение плоскости, проходящей через т. М (10,10,10) и содержащей высоту, опущенную из вершины D.

Тестовые задания

Указать верные утверждения Варианты ответов:

148

а) всякое уравнение 2 степени определяет некоторую плоскость в пространстве; б) всякое уравнение 1 степени определяет некоторую плоскость в пространстве;

в) любое уравнение определяет некоторую плоскость в пространстве;

г) уравнение вида Ax + By +Cz + D = 0 определяет некоторую плоскость в пространстве, при условии, что A2 + B2 + C2 ¹ 0

2. Указать верное утверждение Варианты ответов:

а) плоскость x + y = 0 проходит через начало координат; б) плоскость x − 4 y = 0 совпадает с плоскостью XOY;

в) плоскость y = 4z содержит прямую ОХ; г) прямая OY параллельна плоскости

Точки А (2,3,1) и В(-2,0,1) относительно плоскости x − 2 y + z +3 = 0 лежат

Варианты ответов:

а) в одном полупространстве; б) в разных полупространствах;

в) одна точка лежит в данной плоскости; г) две точки лежат в данной плоскости.

Две плоскости x + 2 y + 4z + 4 = 0 и 2x + 4 y + 6z −16 = 0 Варианты ответов:

а) параллельны; б) пересекаются по прямой; в) совпадают; г) не пересекаются.

Общим уравнением плоскости в пространстве является уравнение:

Варианты ответов: a) Ax + By + C = 0 ;

б) Ax + By + Cz + D = 0 ;

в) D = −( Аx0 + By0 +Cz0 ) ;

149