методичка_линейка _2_

−3

Рис. 8.4. Графическое представление уравнения

Пример

Написать уравнение эллипса, для которого большая полуось

110

−22

−3

Рис. 8.5. Графическое представление уравнения

8.2. Гипербола

Гиперболойназывается геометрическое место точек плоскости, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек этой же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная.

Каноническое уравнение гиперболы

Уравнение (8.3), определяющее гиперболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение 2- ой степени относительно “x” и “y”.

111

Графическое представление гиперболы

Точки M1 (a;0) и M 2 (−a;0) - называются вершинами гиперболы. Та ось, с которой у гиперболы есть пересечения и на которой лежат её вершины, называется действительной осью (в нашем случае ось ОХ). Ось OY – мнимая ось.

необходимо:

От центра симметрии гиперболы (т. О(0;0)) отложить по оси ОХ вправо и влево по “a”, а по оси OY вверх и вниз по ”b”, то есть построить прямоугольник с центром в т. О(0;0) и со сторонами

2a и 2b.

Провести диагонали прямоугольника и продолжить их (получим асимптоты гиперболы).

Правильно расположить вершины гиперболы. Они всегда

OY(х=0) – мнимая ось.

112

x 2

Знак “+” перед a 2 указывает на то, что ось симметрии - ось

ОХ (y=0) – действительная ось.

Эксцентриситет гиперболы служит для характеристики формы гиперболы.

Эксцентриситетом гиперболы(ε ) называется отношение половины фокусного расстояния к действительной полуоси, т.е

гиперболы ε > 1 .

Чем меньше эксцентриситет, то есть чем ближе он к “1”, тем

более вытянут её прямоугольник в направлении оси, соединяющей вершины гиперболы.

Замечание:

которая называется равноосной гиперболой.

a

a

Рис. 8.7. Графическое представление уравнения

113

сопряжёнными гиперболами.

Построим сопряжённые гиперболы.

b

a

Рис. 8.8. Графическое представление уравнения

114

5 F2 (0;5 )

3

−3

−5 F1 (0;−5 )

Рис. 8.9. Графическое представление уравнения

Пример

Написать уравнение гиперболы для которой a=3

(действительная полуось), ε = 2 , центр лежит в О(0;0), построить эту гиперболу с фокусами.

Решение:

115

Рис. 8.10. Графическое представление уравнения

8.3. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек плоскости равноудалённых от данной точки, называемой фокусом и от данной прямой, называемой директрисой, расположенных на этой плоскости.

Простейшее, т.е. каноническое уравнение параболы имеет

вид

Уравнение (8.4) - уравнение 2-ой степени, относительно “y”, которое определяет параболу в некоторой системе декартовых координат.

Виды парабол

Уравнение y 2 = −2 px (p>0) сводится к уравнению y2 = 2 px путём замены “x” на “-x”, т.е. путём преобразования координат, которое соответствует изменению оси OX на противоположное.

Отсюда следует, что уравнение y 2 = −2 px также определяет параболу, ось которой совмещена с осью OX, а вершина – с началом координат, но котонная расположена в левой полуплоскости ( x ≤ 0 ).

116

x

0

y = − p

2

y

y2 = −2 px

x

x = p

2

117

y

y = p

2

x

0

− p F 0; 2

x2 = −2 py

Рис. 8.11. Виды парабол

Замечание:

Осью симметрии любой параболы является та ось, одноимённая координата которой входит в 1-ой степени. Или так: если переменная “y” в уравнении параболы входит в чётной степени, то график симметричен относительно оси ОХ(y=0).

y 2 = ±2 px , здесь “х” – в 1-ой степени и, следовательно, осью симметрии является ось ОХ(y=0).

Знак “+” в уравнениях y 2 = ±2 px и x 2 = ±2 py , (p>0), перед (2px) и (2py) указывает на то, что ветви параболы направлены в положительном направлении оси симметрии.

Знак “-” перед (2px) и (2py) указывает на то что, ветви параболы направлены в отрицательном направлении оси симметрии.

следовательно, x ³ 0 ;

118

Пример.

Построить кривую по уравнению, её директрису, фокус:

Ось симметрии – ОХ(y=0). Ветви параболы направлены в отрицательном направлении оси ОХ. Т. О(0;0) – вершина параболы.

F (− 52 ;0)-фокус параболы.

y

x

x = 5 2

Рис. 8.12. Графическое представление уравнения

119