методичка_линейка _2_

Пусть X ′ = (x1, x2 , x3 , x4 )T - вектор в базисе {ek }, а

X ′ = (x1′, x2′, x3′, x4′)T - тот же вектор в базисе {e′k }. Тогда согласно (6.3) , (4) имеем TX ′ = X , или в развернутом виде

x1 = x1′ + x2′ + x3′ + x′4 x2 = x1′ + x′4

x3 = x′2 + x′4 x4 = x3′ + x′4

Это и есть искомый результат.

Разрешив последнее соотношение относительно X ′ , при желании можно получить формулы, выражающие координаты вектора X ′ через координаты вектора X .

Ответ: x1 = x1′ + x2′ + x3′ + x′4 x2 = x1′ + x′4

x3 = x′2 + x′4 x4 = x3′ + x′4

Пример. Уравнение «поверхности» в некотором базисе e1,...,e4 имеет вид x12 + x22 − x32 − x42 =1. Найти уравнение этой же поверхности в базисе

e1′ = (1,1,1,1), e2′ = (1,−1,1,−1),

e3′ = (1,1,−1,−1), e4′ = (1,−1,−1,1).

Координаты векторов e′k даны в базисе {ek }.

Решение 1. Представим уравнение поверхности в матричном

виде.

Обозначив X = (x1, x2 , x3 , x4 )T , имеем

X T AX =1, (6.5)

2.Составим формулу преобразования координат. В данном случае, матрица перехода Т имеет вид:

90

Тогда

TX ′ = X . (6.6)

3.Определим уравнение поверхности в базисе {e′k }. Подставив (6) в (5 ), имеем

(TX′)T A(TX′) =1,

или

X ¢T ×T T × A ×T × X ¢ =1,

или

Контрольные вопросы к теме

1.Что такое векторное пространство?

2. Что называется вещественным векторным пространством?

3.Перечислите простейшие свойства векторных пространств.

4.Какую линейную комбинацию называют тривиальной?

5.Сформулируйте теорему о четырех равносильных определениях базиса.

91

6.Какая система векторов называется линейно зависимой?

7.Что такое базис векторного пространства?

8.Сформулируйте теорему о количестве векторов в базисе.

9.Что называется размерностью векторного пространства?

10.Сформулируйте теорему о существовании базиса конечномерного векторного пространства.

Задание для самостоятельного решения

Найти формулы преобразования координат при переходе от

Тестовые задания

1.Выполнение какой из аксиом необязательно для того, чтобы множество считалось векторным пространством:

93

Варианты ответов: а)сложение ассоциативно;

б) существование ненулевого вектора; в)сложение коммутативно;

г) умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения векторов.

2.Какое свойство не относится к простейшим свойствам векторных пространств.

Варианты ответов:

а) в векторном пространстве существует единственный нулевой вектор; б) в векторном пространстве любой вектор имеет единственный

противоположный ему; в) x V , (−1) x = −x ;

г) "λ Î K, "x ÎV , λx ¹ 0 Û λ ¹ 0

3.Что из нижеперечисленного не является векторным пространством Варианты ответов:

а) множество числовых вещественных функций одной переменной, непрерывных на интервале (0; 1) относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число.

б)множество многочленов от разных переменных с коэффициентами из поля K относительно сложения многочленов; в)множество комплексных чисел относительно сложения комплексных чисел и умножения на действительное число; г) множество матриц одного и того же размера с элементами из поля К относительно сложения матриц и умножения матриц на скаляр.

4.Системой векторов векторного пространства называют Варианты ответов:

а) замкнутое конечное множество векторов этого пространства; б) любое конечное непустое множество векторов этого пространства; в) конечное множество векторов любого пространства;

г) некоторое непустое множество векторов любого пространства.

94

5.Какую линейную комбинацию называют тривиальной? Варианты ответов:

а) если все коэффициенты линейной комбинации равны нулю; б) если некоторые коэффициенты линейной комбинации равны нулю; в)если свободные коэффициенты в линейной комбинации отсутствуют;

г) если все коэффициенты линейной комбинации не равны нулю

6.Сформулируйте необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов.

Варианты ответов:

а) система векторов векторного пространства является линейно независимой тогда и только тогда, когда один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы; б)система векторов векторного пространства является линейно зависимой тогда и только тогда, когда два вектора системы линейно выражаются через другие вектора этой системы; в)система векторов векторного пространства является линейно зависимой тогда и только тогда, когда ни один из векторов системы линейно не выражается через другие вектора этой системы; г) система векторов векторного пространства является линейно зависимой тогда и только тогда, когда один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы.

7.Сформулируйте теорему о линейной зависимости системы из одного вектора.

Варианты ответов:

а) система, состоящая из одного вектора является линейно зависимой тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой; б) система, состоящая из одного вектора является линейно зависимой тогда и только тогда, когда этот вектор ненулевой; в)система, состоящая из одного вектора является линейно независимой тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой; г) система, состоящая из одного вектора является линейно независимой тогда и только тогда, когда этот вектор ненулевой.

95

8.Когда система, состоящая из одного вектора является линейно зависимой?

Варианты ответов:

а) тогда и только тогда, когда этот вектор ненулевой; б) тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой; в) никогда;

г) тогда и только тогда, когда длина этого вектора равна 1.

9.Что называют базисом векторного пространстваV над полем K? Варианты ответов:

а) упорядоченная система его векторов, представляющая некоторые из векторов векторного пространства единственным способом; б) упорядоченная система его векторов, представляющая любой вектор векторного пространства единственным способом; в) упорядоченная система его векторов, кроме единичных, представляющая любой вектор векторного пространства единственным способом;

г) упорядоченная система его векторов, представляющая любой вектор векторного пространства неединственным способом

10.Сформулируйте теорему о дополнении до базиса. Варианты ответов:

а) не всякая линейно независимая система векторов векторного пространства может быть дополнена до базиса этого пространства; б) любая линейно зависимая система векторов векторного пространства может быть дополнена до базиса этого пространства; в) не всякая линейно зависимая система векторов векторного пространства может быть дополнена до базиса этого пространства; г) любая линейно независимая система векторов векторного пространства может быть дополнена до базиса этого пространства.

Тематика рефератов

1.Исследование векторных пространств в Rn.

2.Нахождение базиса векторных пространств.

3.Теорема о четырех равносильных определениях базиса.

96

ТЕМА 7 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

7.1.Расстояние между двумя точками

в отношении λ , то координаты x и y точки C выражаются формулами:

т.е. координаты середины отрезка равна полусуммам, одноименных координат его концов.

Линии первого порядка

Пусть на плоскости заданы: прямоугольная система координат и некоторая линия L . Рассмотрим соотношение вида:

(относительно заданной системы координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты x и y любой точки, лежащей на линии L , и не удовлетворяют координаты ни какой точки, не лежащей на линии L .

Поскольку величины x

координаты переменной точки M , их называют текущими координатами.

Понятие уравнения линии дает возможность сводить геометрические задачи к алгебраическим.

Уравнение прямой линии

97

Теорема. В прямоугольных координатах всякая прямая определяется алгебраическим уравнением первой степени и, наоборот, всякое уравнение

определяет прямую линию.

Линии, определяемые уравнением первой степени, называются линиями первого порядка. Уравнение вида

Ax + By + C = 0 называется общим уравнением прямой.

В прямоугольных координатах уравнение прямой на плоскости задается в одном из следующих видов:

1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору,

A(x − x1 )+ B(y − y1 )= 0 ,

где N (A, B ) – вектор, перпендикулярный прямой; (x1 , y1 ) –

заданная точка.

2. Общее уравнение прямой

Ax + By + C = 0 .

(7.5)

3. Уравнение прямой, проходящей через точку в заданном направлении

y − y1 = k (x − x1 ),

где (x1 , y1 ) – заданная точка; k – угловой коэффициент

прямой, т.е. тангенс угла, который образует прямая с положительным направлением оси Ox .

4. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

(x1 , y1 ) и ( x2 , y2 ) ,

Зная уравнения прямых или точки на них, можно найти: Угловой коэффициент прямой

Пример.

Составить уравнение прямой, проходящей через точки

M1 (−3; 2) и M 2 (−2;1).

Решение:

Подставляя данные координаты в соотношение (6), получаем:

x +3 = y −2 или y +x +1=0.

−2 +3 1−2

Пример.

Издержки производства 100 ед. некоторого товара составляют 300 тыс. руб., а 400 ед. – 450 тыс. р. Определить издержки производства 400 ед. товара при условии, что функция издержек линейна

Решение.

Используя уравнение прямой, проходящей через две точки

(100; 300) и (400; 450), получаем:

Подставляя x = 400, вычисляем издержки производства 400 единиц товара:

99