3.Операции над функциями. Свойства операций

3.1. Композиция функций

Вспомним аналогичную операцию над бинарными отношениями :

, то .

Пусть даны функции f; X→ Y и g: Y → Z, то называется композицией функций f и g.

3.2. Свойства композиции функций

Свойство 1. Композиция функций является функцией.

Доказательство: Необходимо доказать, что если и , то y = z.

Рассмотрим f и g как бинарные отношения.

Пусть и , тогда

- для (х, у) найдется u такое, что х находится в отношении f с u , u находится в отношении g с у,

- для (х, z) найдется v такое, что х находится в отношении f с v , v находится в отношении g с z.

Т.к. f – функция, то u = v; g – функция, то y = z. Следовательно, h – функция.

Примеры:

а). y = sin²x, где f = sinx, g = f².

б). , где f = x + 2,

Таким образом, композицию функций можно рассматривать:

- как последовательное применение функций f и g;

- g применяется к результату f;

- h получена подстановкой f в g.

Свойство 2. Композиция двух биективных функий есть биективная функция.

Доказательство: , тогда

Найдется v такое, что . А т.к. f и g биективны, то

любому х соответствует единственное v, любому v соответствует единственное у. Отсюда следует, что любому х соответствует единственное у.

В свою очередь, любому у соответствует единственное v, а любому v – единственное х. Отсюда следует, что любому у соответствует единственное х.

Из всего выше сказанного следует, что биективна.

Примеры:

а). y = (х + 3)¹¹, где f = х + 3 - биективна, g = f¹¹ – биективна, следовательно, y = (х + 3)¹¹- биективна.

б). y = (х + 3)¹⁰, где f = х + 3 - биективна, но g = f – не биективна, следовательно, y = (х + 3)¹⁰- не биективна.

3.3. Обратная функция и обратное отображение

Cоответствие Н является обратным для G (H = G^-1), если G : A→B, H: B → A:

Если G – отображение, то Н – так же отображение.

Теорема о существовании обратного отображения: Отображение f: Х → У имеет обратное отображение f^-1: У → Х, тогда и только тогда, когда f – биекция.

Доказательство: Если f – биекция, то f – сюръективно, т.е. E(f) = Y, следовательно, f^-1 опредеделено на множестве У = D(f^--1). f – функция и и , то имеем и . Кроме того, f – инъективна, следовательно х₁ = х₂.

Для биективных функций справедливы свойства, аналогичные свойствам отношений:

Контрольные вопросы

1. Что называется соответствием между двумя множествами?

2. Какое соответствие называется всюду определенным?

3. Какое соответствие называется частично определенным? В каком случае соответствие называется функциональным?

4. Каким условиям должно отвечать взаимнооднозначное соответствие?

5. Что называется функцией?

6. Какая функция называется отображением?

7. В каком случае отображение называется отображением А в В, и в каком случае- А на В?

8. В каком случае для функции существует обратная?

9. Какая функция называется инъективной?

10. Какая функция называется сюръективной?

11. Какая функция называется биективной?

12. Что такое композиция двух функций. Какими свойствами обладает композиция двух функций?

13. Сформулировать теорему о существовании обратного отображения.

14. Составить всевозможные композиции из функций f(x) = lgx и g(x) = sinx. Проверить композиции на биективность.

15. Составить для функций обратные соответствия и проверить являются ли они функциями: а). ; б).