0. Функция

Функцией называется функциональное соответствие между множествами А и В, и обозначается f, или f: A → В, или f(a) = b. Причем, а называется аргументом функции, а b – значением функции.

Определение функции можно сформулировать, используя понятие бинарного отношения:

Бинарное отношение f называется функцией, если из и следует, что y = z.

1. 4. Отображение

Всюду определенная функция f(a) = b называется отображением А в В.

Следовательно, область определения такой функции D(f) = A, а область значений E(f) B.

Если область значений E(f) = B, то такое отображение называют отображением А на В.

Если f(a) состоит из единственного элемента, то функция называется постоянной или константой.

Отображение А→ А (А на А) называется преобразованием множества А.

Примеры:

а). f(x) = 2^x, где , есть отображение N в N, т.к. область значений E(f) не все натуральные числа, т.е. .

Если за область значений принять множество четных чисел М = {2, 4, 6,…}, то это отображение будет уже N на M, т.к. .

б). Рассмотрим соответствие между различными множествами и определим вид каждого соответствия:

f: N → N – это частично определенная функция, но не отображение, т.к. D(f) N.

f: N → R – это отображение N в R , т.к. E(f) R.

f: R₊ → R – это отображение R₊ в R , т.к. E(f) R.

f: R₊ → R₊ – это отображение R₊ на R₊ , т.к. E(f) = R или преобразование множества R.

5. Обратная функция

Обратное соответствие: Дано соответствие . Если соответствие таково, что тогда и только тогда, когда , то соответствие Н называется обратным к G и обозначается G^-1 .

Обратное соответствие – есть обратное бинарное отношение, т.к.

Рассмотрим вопрос о том, в каком случае обратное соответствие будет являться обратной функцией.

В обратном соответствии образы и прообразы меняются местами. Тогда, если дана функция f: A→ B, то для нее существует обратная функция f^-1 тогда и только тогда, когда f является взаимно однозначным соответствием .

Если функция f является всюду определенной, т.е. является отображением, то для нее существует обратное отображение тогда и только тогда, когда область определения есть множество А, т.е. D(f) = A, и область значений есть множество B, т.е. E(f) = B.

Примеры:

а). y = sinx , где , Это отображение R в R. Данная функция отображает отрезок на отрезок [-1; 1]. Значит, существует обратная функция f^-1: y = arcsinx, которая отображает отрезок [-1; 1] на отрезок .

б). у = 2^х – эта функция задает отображение R на R₊. Обратная функция f^-1: y = log₂x задает отображение R₊ в R.

в). у = х² – 4 , где D(f) = R - эта функция не является взаимнооднозначным соответствием, поэтому для нее не существует обратная функция, но существует обратное отображение f^-1: .

2. Свойства отображений и функций

Пусть задана функция или отображение f: A → B.

Свойство 1. Если , то f – называется инъективной функцией (отображением).

Т.е. каждому соответствует единственный

Свойство 2. Если для любого найдется такой, что b = f(a) , то f сюръективная функция (отображение).

Т.е. область значений E(f) = B.

Свойство 3. Если f инъективна и сюръективна, то f называется биективной функцией (отображением).

На основании третьего свойства можно сделать вывод:

Биективная функция f: A → B осуществляет взаимнооднозначное соответствие между А и В.

Примеры:

а). Функция f(x) = e^x задает отображение R в R : D(f) = R, E(f) = R₊ .

Она инъективна (каждому х единственное у), но не сюръективна, т.к.

б). f(x) = x³ - x задает отображение R на R : D(f) = R, E(f) = R_. Она не инъективна, т.к. при х = 1 и х = -1 f(x) = 0.

в). f(x) = 2x + 1 задает отображение R на R : D(f) = R, E(f) = R_. Она инъективна и сюръективна, значит, биективна.