2. Операции над бинарными отношениями.

Для бинарных отношений определены теоретико – множественные операции объединения, пересечения и так далее.

Кроме этих операций над бинарными отношениями производят следующие оперции.

Обратное отношение. Для отношения  обратным является отношение ^-1={(x,y)|(y,x)}.

Для отношения х  у обратным является х  у. Для отношения «быть делителем» обратное- «быть кратным».

Композицией отношений ₁ и ₂ называется отношение ₂о₁ = {(x,z)| существует у такое, что (х,у) ₁ и (у,z) ₂ }.

Композицией двух отношений «Нина дочь Людмилы Ивановны» и «Людмила Ивановна мать Сергея» является отношение «Нина сестра Сергея».

Композицией двух отношений «прямая проходит через точку» и «точка принадлежит плоскости» является отношение «прямая пересекает плоскость».

Для любых бинарных отношений выполняются следующие свойства:

1. (^-1)^-1= . это свойство следует из определения обратного отношения;

2. (₂о₁)^-1 = ₁^-1о₂^-1.

Для доказательства второго свойства, покажем, что множества в обеих частях равенства состоят из одних и тех элементов: (х,у) (₂о₁)^-1(у,х) ₂о₁z (y,z)₁ и (z,x)₂z (y,z)₁^-1 и (x,z) )₂^-1(x,y) ₁^-1о₂^-1.

3. Свойства бинарных отношений.

Свойство рефлексивности и антирефлексивности.

Отношение  называется рефлексивным, если для любого хМ имеет место хх.

Отношение  называется антирефлексивным, если ни для каких хМ не выполняется хх.

Примеры:

а) отношение «ху» рефлескивно, т.к хх;

б) отношение «х у» рефлексивно, т.к х х;

в) отношение «х<y»антирефлексивно, т.к. ни для каких х не верно x<x;

г) отношение «быть симметричным относительно оси» не является симметричным и антирефлексивным. Симметричны сами себе только точки, лежащие на оси симметрии. Таким образом не всякая точка симметрична сама себе. Значит отношение не является симметричным. Но в свою очередь отношение и не является антисимметричным, потому что существуют точки симметричные сами себе.

Свойство симметричности и антисимметричности.

Отношение  называется симметричным, если для всех (х,у)М² из ху следует ух.

Отношение  называется антисимметричным, если из ху и ух следует, что х = у.

Примеры:

а) отношение «быть симметричным относительно оси» симметрично, т.к. если точка А симметрична точке В, то и точка В симметрична точке А;

б) отношение «х=у» симметрично, т.к. если х=у, то у=х;

в) отношение ху антисимметрично, т.к. если ху и ух следует, что х=у;

г) отношение «х у» антисимметрично, т.к. если х у и у х, то х=у.

Свойство транзитивности.

Отношение  называется транзитивным, если для любых x, y, z из ху и уz следует хz.

Примеры:

а) отношение равенства «х=у» транзитивно, действительно, если х=у и у=z, то х=z;

б) отношение «x<y» транзитивно, т.к. если x<y и y<z, то x<z;

в) отношение «быть сыном» не транзитивно, например, «Сергей сын Алексея Ивановича» и «Алексей Иванович сын Ивана Петровича» , то тогда «Сергей внук Ивана Петровича»;

г) отношение «быть перпендикуляром» на множестве прямых на плоскости не транзитивно, т.к. если прямая а перпендикулярна прямой b и прямая b перпендикулярна прямой с, то прямые а и с параллельны.

Свойство эквивалентности.

Отношение  называется отношением эквивалентности, если оно рефлексиво, симметрично и транзитивно.

Примеры:

а) Отношение «х=у»: х=х – рефлексивно; у=х – симметрично; если х=у и у=z, то х=z – транзитивно. Отношение эквивалентно.

б) Отношение «подобие на множестве треугольников»: АВСАВС – рефлексивно; если АВСА₁В₁С₁ , то А₁В₁С₁АВС – симметрично; если АВСА₁В₁С₁ и А₁В₁С₁А₂В₂С₂, то АВС А₂В₂С₂. Отношение эквивалентно.

в) Отношение «жить в одном городе на множестве людей»: Коля живет в Москве. Коля живет в Москве сам с собой – рефлексивно; если Коля живет в Москве с Сергеем , то и Сергей живет с Колей в Москве – симметрично; Коля живет в Москве с Сергеем и Сергей живет в Москве с Виктором, то Коля живет в Москве с Виктором. Отношение эквивалентно.

г) Отношение «параллельность прямых на плоскости». Проверьте самостоятельно.

д) Отношение «перпендикулярность прямых на плоскости». Никакая прямая не перпендикулярна сама себе, значит, отношение антирефлексивно, следовательно, не является эквивалентным.