- •Лекция 2
- •Лекция 3
- •Лекция 4
- •Лекция 5
- •Лекция 13
- •Лекция 14
- •Лекция 16
- •Основные понятия
- •Понятие множества. Способы задания множеств.
- •Понятие множества. Способы задания множеств.
- •Отношения между множествами.
- •3, Операции над множествами.
- •Алгебра множеств.
- •Теорема о количестве подмножеств конечного множества.
- •Формула включений и исключений.
- •Лекция 2
- •1.Понятие вектора. Прямое произведение множеств.
- •2.Теорема о количестве элементов прямого произведения.
- •Понятие вектора. Прямое произведение множеств.
- •Теорема о количестве элементов прямого произведения.
- •Лекция 3
- •2. Понятие высказывания.
- •3. Логические операции над высказываниями
- •4.Формулы алгебры логики.
- •Лекция 4
- •2. Важнейшие равносильности алгебры логики.
- •3.Равносильные преобразования формул.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Лекция 5
- •Дизъюнктивная нормальная форма.
- •Конъюнктивная нормальная форма.
- •Проблема разрешимости.
- •Лекция 6
- •Функции алгебры логики.
- •3. Представление произвольной функции алгебры логики в виде формулы алгебры логики.
- •4.Приложения алгебры логики в технике (релейно-контактные схемы).
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 7
- •Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.
- •Совершенная конъюнктивная нормальная форма.
- •Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.
- •2.Совершенная конъюнктивная нормальная форма.
- •Лекция 8
- •2.Понятие минимальной днф. Метод минимизирующих карт.
- •3.Метод Квайна.
- •4.Метод Карно.
- •5.Постановка задачи минимизации в геометрической форме.
- •6.Сокращенная днф.
- •7.Тупиковая днф. Днф Квайна.
- •Лекция 9
- •Некоторые логические операции. Двоичное сложение.
- •Полином Жегалкина.
- •Некоторые логические операции. Двоичное сложение.
- •Полином Жегалкина.
- •Лекция 10
- •Полная система . Достаточное условие полноты.
- •Критерий полноты системы булевых функций.
- •Независимые системы. Базис замкнутого класса.
- •Полная система. Достаточное условие полноты.
- •Критерий полноты системы булевых функций.
- •3. Независимые системы. Базис замкнутого класса.
- •Лекция 11
- •Понятие предиката.
- •Логические операции над предикатами.
- •1. Понятие предиката
- •2. Логические операции над предикатами
- •Лекция 12
- •2. Формулы логики предикатов.
- •Значение формулы логики предикатов.
- •4. Равносильные формулы логики предикатов.
- •Лекция 13
- •Построение противоположных утверждений.
- •3. Прямая, обратная и противоположная теоремы.
- •4. Необходимые и достаточные условия.
- •5. Доказательство методом от противного.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Лекция 14
- •2. Использование метода математической индукции для нахождения сумм конечного числа слагаемых
- •3. Использование метода математической индукции для доказательства неравенств и делимости выражений, зависящих от n на некоторое число
- •4. Обобщение метода математической индукции
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 15
- •Операции над бинарными отношениями.
- •3. Свойства бинарных отношений.
- •4. Специальные бинарные отношения.
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 16
- •Функция
- •1. 4. Отображение
- •Обратная функция
- •2. Свойства отображений и функций
- •3.Операции над функциями. Свойства операций
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 17
- •Основные понятия .
- •2. Смежность, инцидентность, степени вершин.
- •3. Способы задания графов
- •Маршруты в неориентированном графе
- •Операции над графами.
- •Связность. Компоненты связности
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 18
- •2. Метрические характеристики неориентированного графа
- •Минимальные маршруты в нагруженных графах
- •Задачи на деревьях
- •Цикловой ранг графа. Цикломатическое число
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 19
- •Эйлеровы цепи и циклы
- •Гамильтоновы циклы и цепи
- •Эйлеровы цепи и циклы
- •Гамильтоновы циклы и цепи.
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 20
- •Двудольный граф. Условие существования двудольного графа
- •Паросочетания . Реберные покрытия
- •Двудольный граф. Условие существования двудольного графа
- •Паросочетания. Реберные покрытия
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 21
- •Основные определения
- •Алгоритм плоской укладки графа
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 22
- •Способы задания ориентированного графа
- •Путь в ориентированном графе
- •4. Связность. Компоненты связности в орграфе
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 23
- •2. Минимальные пути в нагруженных орграфах
- •3. Порядковая функция орграфа без контуров
- •Контрольные вопросы
2.Совершенная конъюнктивная нормальная форма.
Для одной и той же формулы можно составить множество равносильных ей КНФ. Но среди них существует единственная КНФ со свойствами совершенства.
Перечислим свойства совершенства для КНФ:
Каждый логический множитель формулы содержит все переменные, входящие в функцию.
Все логические множители различны.
Ни один множитель не содержит одновременно переменную и ее отрицание.
Ни один множитель не содержит одну и ту же переменную дважды.
КНФ, для которой выполняются свойства совершенства называется совершенной КНФ (СКНФ).
Любая не тождественно истинная формула имеет единственную СКНФ.
Один из способов получения СКНФ состоит в использовании таблицы истинности для :
Составляют СДНФ .
Для получения СКНФА строят отрицание СДНФ , т.е.
Или из наборов переменных, при которых А ложна, составляют элементарные дизъюнкции, в которых переменная, вошедшая со значением истина вводится с отрицанием, а со значением ложь – без отрицания. Из полученных элементарных дизъюнкций составляют конъюнкцию.
Другой способ основан на равносильных преобразованиях
Приведем соответствующий алгоритм:
Путем равносильных преобразований получить какую – либо КНФ.
Если какая-либо элементарная дизъюнкция В не содержит переменную хi , то вводят ее, используя равносильность . И используют свойство дистрибутивности.
Если в КНФ входят две одинаковые дизъюнкции В, то лишнюю отбрасывают, используя свойство идемпотентности В B B.
Если какая-либо дизъюнкция содержит xi вместе с отрицанием, то В 1. И В исключают из КНФ.
Если какая-либо дизъюнкция содержит переменную xi дважды, то одну из них отбрасывают, используя свойство xiv xi xi.
Примеры.
1. Составить СКНФ для формулы по таблице истинности и путем равносильных преобразований.
Составим таблицу истинности, которая содержит 4 строки, для
х |
у |
1 |
2 |
3 |
4 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Тогда
Такую же формулу мы получили бы, строя СКНФА на наборах, при которых А ложна.
Преобразуем формулу:
2.Аналогичное задание для формулы
Таблица истинности имеет вид:
a |
b |
c |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
Составим СКНФА на наборах, при которых А=0:
Преобразуем формулу:
Путем равносильных преобразований получить СКНФА.
Задачи для самостоятельного решения.
1. Для следующих формул найти СДНФ и СКНФ, каждую двумя способами (путем равносильных преобразований и используя таблицы истинности):
2. Найдите СДНФ для всякой тождественно истинной формулы, содержащей: 1) одно переменное, 2) два переменных, 3) три переменных.
3. Найдите СКНФ для всякой тождественно ложной формулы, содержащей: 1) одно переменное, 2) два переменных, 3) три переменных.
4. Докажите равносильность формул и сравнением их совершенных нормальных форм (конъюнктивных или дизъюнктивных).
5. Найдите более простой вид формул, имеющих следующие совершенные нормальные формы:
Контрольные вопросы
Перечислить свойства совершенства для ДНФ.
Перечислить свойства совершенства для КНФ.
Сколько для одной формулы можно составить СДНФ и СКНФ?
Как по таблице истинности составить СДНФ?
Связь между СДНФА и СКНФА.
Как путем равносильных преобразований составить СДНФ и СКНФ формулы?