Лекция 13

ТЕМА: ПРИМЕНЕНИЕ ЯЗЫКА ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ ДЛЯ ЗАПИСИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПРЕДЛОЖЕНИЙ, ОПРЕДЕЛЕНИЙ, ПОСТРОЕНИЯ ОТРИЦАНИЯ ПРЕДЛОЖЕНИЙ.

ПЛАН:

1. Запись математических предложений в виде формул логики предикатов.

2. Построение противоположных утверждений.

3. Прямая, обратная и противоположные теоремы.

4. Необходимые и достаточные условия.

5. Доказательство методом от противного.

Главная

1. Запись математических предложений в виде формул логики предикатов.

Язык логики предикатов удобен для записи матема­тических предложений. Он дает возможность выражать логические связи между понятиями, записывать опреде­ления, теоремы, доказательства. Приведем ряд приме­ров таких записей.

1) Определение предела числовой последовательности.

Здесь использован трехместный предикат Q( ,n,n_o):

2). Определение предела функции в точке.

Здесь использован трехместный предикат Р( , ,х):

3). Определение непрерывности функции в точке.

Функция f(x), определенная на множестве Е, непре­рывна в точке х₀  Е , если

Здесь также использован трехместный предикат Р( , ,х).

4). Определение возрастающей функции.

Функция f(x), определенная на множестве Е, возра­стает на этом множестве, если

Здесь использован двухместный предикат B(x₁ , x₂):

5). Определение ограниченной функции.

Функция f(х), определенная на множестве Е, огра­ничена на этом множестве, если

Здесь использован двухместный предикат L(x,M):(|f(x)|M).

Как известно, многие теоремы математики допускают формулировку в виде условных предложений. Например, рассмотрим следующую теорему: «Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла». Условием этой теоремы является предложение «Точка лежит на биссектрисе угла», а заключением – предложение «Точка равноудалена от сторон угла». Видим, что и усло­вие, и заключение теоремы представляют собой предика­ты, заданные на множестве R². Обозначая эти предикаты

соответственно через Р(х) и Q(x), где х  R², теорему можем записать в виде формулы:

В связи с этим, говоря о строении теоремы, можно выделить в ней три части: 1) условие теоремы: предикат Р(х), заданный на множестве R²; 2) заключение теоре­мы: предикат Q(x), заданный на множестве R²; 3) разъяс­нительная часть: в ней описывается множество объек­тов, о которых идет речь в теореме.

2. Построение противоположных утверждений.

Пусть дано некоторое математическое утверждение А. Ему противоположным будет утверждение .

Логика предикатов позволяет путем равносильных преобразований формулы придать ей хорошо обозри­мый вид.

Так, например, определение ограниченной функции дается формулой:

Определение неограниченной функции мы получим, беря отрицание этой формулы и проводя равносильные пре­образования:

Последняя формула дает не негативное, а положитель­ное определение неограниченной функции.

Из приведенного определения видно, что для постро­ения противоположного утверждения к утверждению, заданному формулой логики предикатов, содержащей все кванторы впереди, необходимо заменить все кванторы на противоположные и взять отрицание от предиката, стоящего под знаком кванторов.

Так, утверждение, что даст формула:

Особый интерес представляет построение утвержде­ния, отрицающего справедливость некоторой теоремы: хE(P(x)Q(x)).

Это будет утверждение:

Следовательно, чтобы доказать, что теорема хE(P(x)Q(x)) неверна, достаточно указать такой эле­мент х  Е, для которого Р(х) - истина, a Q(x) - ложь, то есть привести контрпример.

Используя данный прием докажем несправедливость утверждений:

1. «Если дифференцируемая функция y = f(x) имеет в точке х₀ производную, равную нулю (y’=0), то то точка х₀ – точка экстремума.» достаточно указать один пример, опровергающий утверждение теоремы. Функция y = x³ в точке х=0 имеет производную у’=3х² = 0, но эта точка не является точкой экстремума. Значит, теорема не верна.

2. «Если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является параллелограммом.» В качестве контрпримера можно привести равнобокую трапецию , у которой диагонали равны, но она не является прямоугольником.