2. Отношения между множествами.

Рассмотрим отношения между неупорядоченными множествами.

Если каждый элемент множества А принадлежит множеству В, то А называют подмножеством множества В.

Обозначения: А  В ( А принадлежит В, А включено в В, А содержится в В и т.д.),

В  А ( В включает А, В содержит А и т.д.)

Множества А и В называются равными, если А  В и В  А.

Обозначение: А = В.

Если А  В и существует хотя бы один элемент множества В, не принадлежащий множеству А, то А – собственная часть В, т.е. А строго включается в В.

Обозначение: А  В.

Примеры:

N – множество натуральных чисел, М – множество четных чисел, тогда М  N.

Пусть Х – множество студентов группы, У – множество студентов данной группы сдавших экзамен, тогда можно построить отношение У  Х, т.к. возможно , что все студенты успевающие.

А = {1, 3, 5, 10}, B = {10, 1, 1, 5, 3, 5}. Данные множества равны А = В, действительно: А  В и В  А.

Если U – универсальное множество некоторой теории, то любое множество этой теории является его подмножеством. Например, множество комплексных чисел С – универсальное множество в теории чисел. Для всех классов чисел можно построить цепочку включений: N  Z  Q  R  C.

Свойства включений.

1. Для всякого множества В : В  В;

2. Для любых множеств А, В, С, если А  В и В  С, то А  С;

3. Для всякого множества В :   В.

3, Операции над множествами.

Над множествами можно выполнять действия (операции), напоминающие сложение и умножение чисел. Но не тождественные им.

Объединением (суммой0 множеств А и В называется множество, обозначаемое через АВ, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А или В.

Краткая запись: АВ = {x | x A или х В}.

Соответствующая диаграмма Эйлера – Венна:

АВ- заштрихованная область

Пример: А = {2, 5, 7, 9}, В = {3, 5, 8, 9, 12}.

АВ = {2, 5, 7, 9}{3, 5, 8, 9, 12}= {2, 5, 7, 9, 3, 8, 12}.

Соответствующая диаграмма:

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество, обозначаемое через АВ и состоящее из тех и только из тех элементов, которые принадлежат множеству А и множеству В.

Краткая запись: АВ = {x | xA и хВ}.

Соответствующая диаграмма Эйлера- Венна:

АВ – заштрихованная область

Пример: АВ= {2, 5, 7, 9}{3, 5, 8, 9, 12}= {5,9}.

Д иаграмма:

Разностью множеств А и В называется множество, обозначаемое через А\В и состоящее из тех и только из тех элементов, которые принадлежат А и не принадлежат В.

Краткая запись: А\В = {x| x A и xB}.

Соответствующая диаграмма Эйлера- Венна:

А\В- заштрихованная область

Пример: А\В = {2, 5, 7, 9}\{3, 5, 8, 9, 12}= {2, 7}.

Диаграмма:

Если АВ = , то А\В= А и В\А = В.

Если А  В, то А\В = .

Е сли U – универсальное множество и А U, то разность U\A называется дополнением множества А до множества U и обозначается .

Краткая запись: = {x| xU и xA}.

Соответствующая диаграмма Эйлера- Венна:

Симметрической разностью множеств А и В называется множество, обозначаемое АВ и состоящее из тех и только из тех элементов, которые принадлежат А\В или В\А.

К раткая запись: AB= {x| xA\B или xB\A}.

Соответствующая диаграмма Эйлера- Венна:

Пример: АВ = {2, 5, 7, 9}{3, 5, 8, 9, 12}= {2, 7, 3, 8, 12}.

Диаграмма:

П

1 3 2

ример: Найти множество: (АВ)(С\Q), где:

Расставим порядок действий и выполним их по порядку: