8.1.3. Методологія обробки даних досліджень
Метою кожного вимірювання є визначення значення деякої величини. Однак через різні неточності процесу вимірювання результати вимірювання в загальному випадку відрізняються від шуканого точного значення. Під час оцінки результатів вимірювання зазвичай виходять з того, що вимірювання можна повторити багаторазово. Умови проведення вимірювань при цьому не повинні змінюватися.
Досвід показує, що будь-яке вимірювання, як би акуратно воно не проводилося, не може бути зовсім вільним від похибок. Похибка вимірювання характеризує точність, з якою виконано вимірювання. Похибки вимірювань обумовлені великою кількістю різноманітних причин. У деяких випадках вдається визначити причини цих похибок і внести необхідне виправлення в результат вимірювання.
Причиною похибок експерименту може бути неточність вимірювального приладу. Для того щоб максимально уникнути таких похибок, у наукових експериментах намагаються використовувати спеціально калібровані прилади.
Прийнято говорити, що ці похибки обумовлюють систематичну похибку вимірювання. Як тільки систематичні похибки виявлені і їхні величини розраховані, вони можуть бути усунуті завдяки внесенню відповідних виправлень у результати вимірювань. Однак необхідно пам’ятати, що загальна похибка кожного результату вимірювання залишається невідомою, тому що мова йде не про виділення із загальної похибки спостереження деякої її частини у вигляді систематичної похибки, а лише про введення поправок на ті фактори, які вдалося виявити в процесі аналізу результатів експерименту. Правильна оцінка систематичних похибок значною мірою залежить від досвіду експериментатора і його здатності оцінювати отримані результати. Поряд із систематичними похибками існують й похибки іншого типу – статистичні.
Статистичні похибки є непереборними – їх не можна виключити в кожному з результатів вимірювань. Однак за допомогою методів теорії ймовірності можна врахувати їхній вплив на оцінку дійсного значення вимірюваної величини, що дозволяє визначити значення вимірюваної величини зі значно меншою похибкою, ніж похибки окремих вимірювань. Урахування впливу статистичних похибок базується на знанні законів їхнього розподілу, тому що статистичні похибки вимірювання характеризуються певним законом розподілу. Існування такого закону можна виявити, повторюючи багато разів у незмінних умовах вимірювання деякої величини.
Раніше було доведено, що в переважній більшості випадків дійсне значення вимірюваної величини хд, за умови нормального закону розподілу результатів, є середнім арифметичним усіх результатів вимірювань. Його ми і знаходимо в першу чергу.
(8.11)
Проте в ряд значень, одержаних у результаті вимірювань, можуть потрапити значення, які помітно відрізняються за своєю величиною від загальної кількості результатів. Ймовірно, наявність таких спотворених результатів обумовлеа грубими похибками при вимірюванні.
Грубі похибки вимірювань (промахи) можуть сильно спотворити результати вимірювань, тому їхнє виключення із серії дослідів вимірювань є обов’язковим. Зазвичай вони відразу помітні в ряді отриманих результатів, але в кожному конкретному випадку це необхідно довести. Існує декілька критеріїв для оцінки промахів.
Розглянемо простий та поширений критерій 3σ. По-перше, необхідно розрахувати середнє арифметичне результатів вимірювань, але без підозрілих результатів, які могли бути одержані з грубими похибками.
По-друге, слід розрахувати середнє квадратичне відхилення середнього арифметичного, також без урахування підозрілих результатів:
.
(8.12)
При нормальному розподілі результатів вважається, що результат, який виникає з імовірністю Р ≤ 0,003, малоймовірний і його можна кваліфікувати як промах, тобто сумнівний результат хj відкидається, якщо
>3σ.
(8.13)
Результати, які не були кваліфіковані як промахи чи грубі похибки, можуть бути залишені. У такому випадку середнє арифметичне та середнє квадратичне відхилення розраховуються з урахуванням цих результатів.
Даний критерій надійний при кількості вимірювань n ≥ 20,...,50.
Якщо n < 20, доцільно застосовувати критерій Романовського.
При цьому обчислюють відношення
.
(8.14)
Отримане значення β порівнюють з теоретичним βт − при обраному рівні значимості Р за табл. 8.1.
Таблиця 8.1
Рівень значимості βт = f(N)
Імовірність Р |
Кількість вимірювань |
||||||
N=4 |
N=6 |
N=8 |
N=10 |
N=12 |
N=15 |
N=20 |
|
0,01 |
1,73 |
2,16 |
2,43 |
2,62 |
2,75 |
2,90 |
3,08 |
0,02 |
1,72 |
2,13 |
2,37 |
2,54 |
2,66 |
2,80 |
2,96 |
0,05 |
1,71 |
2,10 |
2,27 |
2,41 |
2,52 |
2,64 |
2,78 |
0,10 |
1,69 |
2,00 |
2,17 |
2,29 |
2,39 |
2,49 |
2,62 |
Зазвичай вибирають Р = 0,01 – 0,05, і якщо β > βт, то одержаний результат відкидають.
Далі обчислюють середнє квадратичне відхилення результату спостереження (похибок результатів спостережень) за формулою:
. (8.15)
Потім оцінюють довірчі межі похибки (невизначеність результату вимірювання) за формулою:
, (8.16)
де t – коефіцієнт, узятий з таблиці для розподілу Стьюдента.
Перевірку гіпотези про те, що результати спостережень належать нормальному розподілу, здійснюють за допомогою відносної величини – коефіцієнта варіації
.
(8.17)
Якщо ν ≤ 0,33, ..., 0,35, можна вважати, що розподіл результатів відбувається за нормальним законом.
Після розрахунку Δх ми маємо право стверджувати, що середній результат розрахунків з імовірністю Р знаходиться в інтервалі .
Для оцінки якості проведеної кількості вимірювань n знаходимо величину відносної похибки
.
(8.18)
Умовно можна вважати, що якість проведених вимірювань:
відмінна, якщо
;добра, якщо
;середня, якщо
;низька, коли
.
Результат
записуємо таким чином:
,
Р
= 0,95, n =
..., якість – відмінна.
Якщо якість вимірювань нас не задовольняє, можна, не змінюючи обладнання та умови вимірювання, збільшити кількість вимірювань (табл. 8.2).
Таблиця 8.2
Необхідна кількість вимірювань при нормальному розподілі результатів (Р = 0,95)
Відносна похибка
|
Коефіцієнт варіації, ν |
|||
0,20 |
0,25 |
0,30 |
0,35 |
|
5 |
61 |
96 |
140 |
190 |
10 |
18 |
26 |
34 |
47 |
15 |
11 |
13 |
18 |
23 |
20 |
6 |
8 |
11 |
14 |
25 |
5 |
6 |
8 |
10 |
,
%
Питання для самоперевірки
1. Яким чином виникає статистична похибка?
2. Яким чином виникає систематична похибка?
3. Яким чином усувають вплив статистичної похибки?
4. Як визначають можливі промахи в результатах вимірювань?
5. Як перевіряється належність результатів вимірювань до нормального закону розподілу результатів?
6. Як, не змінюючи умов вимірювання, підвищити точність вимірювань?